Уравнение первого порядка неразрешенные относительно производной

Уравнение первого порядка неразрешенные относительно производной

Дифференциальные уравнения, которые удается разрешить относительно производной

Сначала нужно проверить, не удастся ли уравнение решить относительно производной. Если уравнение удается разрешить относительно производной, то оно сводится к одному из ранее рассмотренных типов.

Пример

Решим это уравнение относительно производной. Возводим уравнение (1) в квадрат:
.
Или:
;
.
Поскольку , то 1" style="width:57px;height:20px;vertical-align:-11px;background-position: -362px -390px;"> .
Извлекаем квадратный корень. Получаем два значения:
(2) .
Из уравнения (1) следует, что 0" style="width:62px;height:20px;vertical-align:-10px;background-position: -300px -390px;"> .
Поэтому при 1" style="width:46px;height:14px;vertical-align:-7px;background-position: -452px -0px;"> , 0" style="width:51px;height:20px;vertical-align:-10px;background-position: -446px -247px;"> . В уравнении (2) выбираем верхний знак “+”.
При , . В уравнении (2) выбираем нижний знак “–”.

Интегрируем, применяя таблицу интегралов:
(3) .
Поскольку верхний знак “+” относится к 1" style="width:46px;height:14px;vertical-align:-7px;background-position: -452px -0px;"> , а нижний знак “–” относится к , то
.
Тогда
.

Теперь объясним, как мы вынесли за знак логарифма в (3).
Применим формулу:
.
Приравняем модули левой и правой частей:
.
Подставим ; :
;
;
;
.
Логарифмируем, применяя свойства логарифмов:
.
Отсюда
.

Дифференциальные уравнения, допускающие разложение на множители

Также нужно проверить, не удастся ли представить уравнение в виде произведения множителей:
.
Если такое разложение возможно, то последовательно решают уравнения, составленные из сомножителей:
;
;
;
.
.

Виды не разрешенных уравнений, допускающих решение

Далее приведены виды не разрешенных относительно производной дифференциальных уравнений первого порядка, допускающих решение.

Уравнения, не содержащие x и y

Это уравнения, которые не содержат в явном виде независимую и зависимую переменные:
.
См. Уравнения, содержащие только производную.

Уравнения, не содержащие x или y

Это уравнения, которые не содержат в явном виде либо независимую переменную , либо зависимую переменную :
; или .
См. Уравнения, не содержащие одну из переменных в явном виде.

Формально, в этот класс можно отнести все уравнения первого порядка, если перенести все слагаемые из левой (правой) части в правую (левую) и получить уравнение вида F(x,y,y’)=0. Но в этот класс я буду относить только уравнения, в которых нельзя производную выделить алгебраически, т.е. записать y’=f(x,y). Например: y=x*cos(y’)+y’.

Читайте также:  Блуждающие токи в системе отопления

Для решения уравнений этого класса часто используется следующий метод:

Делаем замену y’=p и дифференцируем уравнение по х. Во многих случаях (хотя и далеко не всех)

эти действия позволяют свести решение нашего уравнения к уравнениям вышеописанных классов.

Так, например, можно решить уравнение, которое я дал в качестве примера выше:

p=cos(p)-xp’sin(p)+p’, которое является линейным относительно x(p): x'(p-cos(p))=1-x*sin(p).

Естественно, данная замена (y’=p) не единственная. Можно применить и такую: cos(y’)=p, но решать получающееся в этом случае уравнение сложнее (но в каком-нибудь другом уравнении именно эта замена может быть лучше).

Пример:

Рассмотрим уравнение вида y=x*f(y’)+g(y’), которое называется уравнением Лагранжа. Его можно решить методом, который я кратко изложил в I.7). Сделаем замену y’=p и продифференцируем по х:

Последнее является линейным относительно x(p).

II. Задача Коши для уравнения первого порядка.

Задача Коши — это задача на нахождение какого-то определенного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего условию, называемомуначальным. Геометрически — нахождения некоторой кривой, проходящей через определенную точку.

Положим, в некоторой точке x y, удовлетворяющее уравнению F(x,y,y’)=0 равно y. Тогда решение задачи Коши — это решение относительно C алгебраического уравнения y=y(x, C), где y(x,C) — общее решение уравнения.

III. Уравнения, допускающие понижение порядка (сводящиеся к уравнениям первого порядка).

1. Уравнения вида F(x, y’, y»)=0.

Уравнение сводится к уравнению первого порядка заменой u=y’. Получим в результате уравнение вида F(x,u,u’)=0.

После, получив решение u=u(x), интегрируем его по х.

2. Уравнения вида F(y, y’, y»)=0

Понижение порядка получим следующим образом:

Пусть y’=p(y), тогда (производная сложной функции).

Получили уравнение вида F(y, p, pp’)=0. Теперь будем искать решение уравнения как p(y) (или же y(p), как получится).

Положим, что удалось отыскать решение p(y). Решение y(x) (или х(у)) получим, проинтегрировав уравнение .

Читайте также:  Чем читать файлы pdf

Если же получили y(p):

В этом случае интегрируем уравнение вида . После интегрирования получим или y(x) (как y(p(x))), или же параметрическое решение y(p)&x(p).

Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной.

F(x,y,y’)=0

1. Из уравнения F(x,y,y’)=0 выразить y’ через x и y. Получится одно или несколько уравнений вида y’=f(x,y), каждое из которых надо решить.

Пример.

у’ 2 -y 2 =0

y’=y и y’=-y

dy/y=dx и dy/y=-dx

ln|y|=x+lnC и ln|y|=-xlnD

y=Ce x и y=De -x

2. Метод параметра (простейший вариант метода).

Пусть уравнение F(x,y,y’)=0 можно разрешить относительно y.

y=f(x,y’).

Введем параметр p=y’=dy/dx

Тогда y=f(x,p)

Возьмем полный дифференциал от обеих частей, заменив dy через pdx, получим

Если решение этого уравнения найдено в виде x=φ(p), то получим решение исходного уравнения в параметрической форме:

Пример

y=ln(1+y’ 2 )

p=y’=dy/dx, y=ln(1+p 2 )

При делении на р потеряли решение у=0

3. Если уравнение F(x,y,y’)=0 можно разрешить относительно х:

x=f(y,y’), то также как в 2 вводим параметр p=y’=dy/dx

4. Уравнение Лагранжа

y=xφy’+Ψ(y’)

и уравнение Клеро

y=xy’+Ψ(y’)

являются частными случаями, рассмотренными в пункте 2.

5) Немного об особых решениях. Решение y=φ(х) уравнения F(x,y,y’)=0 называется особым, если через каждую его точку, кроме этого решения, проходит и другое ршение, имеющее в этой точке ту же касательную, что и решение φ(х), но не совпадающее сним в сколь угодно малой окрестности этой точки. Пусть F(x,y,y’), δF/δy и δF/δy’ непрерывны. Тогда любое особое решение уравнения F(x,y,y’)=0 удовлетворяет и уравнению δF(x,y,y’)/δy’=0.

Чтобы отыскать особые решения, надо из системы

исключить y‘. Полученное уравнение называется дискриминантной кривой. Для каждой ветви дискриминантной кривой надо проверить, является ли эта ветвь решением и если является, то будет ли оно особым (т.е. нарушается ли единственность в каждой его точке).

Читайте также:  Бритва филипс ван блейд цена отзывы

Пример.

y=xy’-y 2 — Уравнение Клеро

p=y’=dy/dx, y=xp-p 2

pdx=pdx+xdp-2pdp

(x-2p)dp=0

dp=0, p=c, следовательно

x=2p, y=xp-p 2

y=Cx-C 2 или y=(x 2 /2)-(x 2 /4)

y=x 2 /4-особое решение

y=x 2 /4 решение исходного уравнения. Докажем, что особое.

Берем произвольную точку на решении y=x 2 /4, например (xo,x 2 o/4). найдем С, при котором прямая y=Cx-C 2 также проходила через эту точку x 2 o/4=Cxo-C 2 , следовательно C=xo/2, т.е. y=(xo/2)x-(x 2 o/4).

Ссылка на основную публикацию
Технология etth что это
ETTH — Ethernet To The Home (ETTH) is a specific application of Fiber to the premises (FTTP) that first emerged...
Схема бп fsp350 60evf
Внимание! Все работы с силовыми цепями необходимо проводить соблюдая технику безопасности! В сети интернет можно найти очень много описаний и...
Схема включения синхронного генератора
Цель работы: целью лабораторной работы является изучение методов подключения генератора к системе методом точной синхронизации в ручном режиме. При подключении...
Технология nfc в наушниках что это
NFC — это аббревиатура от английского Near Field Communication. С помощью этой технологии становится возможным обмен данными между различными устройствами,...
Adblock detector