Уравнение кардиоиды в декартовых координатах

Уравнение кардиоиды в декартовых координатах

Здравствуйте, уважаемые студенты вуза Аргемоны!

Ну вот мы и подошли к последней лекции третьего модуля. Сегодня мы рассмотрим ещё несколько замечательных кривых и совершенно другой вид их алгебраического представления — в полярных координатах.

Вот полярная сетка

В общем-то видно, что полярная сетка очень хорошо накладывается на декартовую систему координат.

Вообще, полярная система координат задаётся лишь одним лучом, который называется нулевым или полярной осью.

Каждая точка на плоскости характеризуется радиусом и углом, или, правильнее говорить, полярным радиусом и полярным углом.

Полярный радиус — это расстояние от точки до начала координат. Обозначается через ρ.
Полярный угол — это угол, на который надо повернуть полярную ось, чтобы попасть в эту точку. Обозначается через φ.

Вот, например, полярные координаты точек (клеточка принимается за 1)

Ясно, что полярный угол может отличаться на 2π (кратно 2π) в любую сторону, то есть координаты точки D могут быть и такими:

Положительный полярный угол откладывается от полярной оси по часовой стрелке, отрицательный — против.

Уже вижу ваши огромные глаза, но не волнуйтесь: полярная система координат, на самом деле, достаточно проста и удобна в использовании. Рассмотрим примеры.

Вы все помните уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R:

Преобразуем его в полярный вид. Формулы перевода такие:

Подставляем их в уравнение окружности:

(ρ(φ)*cosφ) 2 +(ρ(φ)*sinφ) 2 =R 2
ρ 2 (φ)*cos 2 φ+ρ 2 (φ)*sin 2 φ=R 2
ρ 2 (φ)*(cos 2 φ+sin 2 φ)=R 2
ρ 2 (φ)=R 2
ρ(φ)=R

Видим, что уравнение такой окружности от угла φ не зависит. То есть это все точки плоскости, которые находятся на расстоянии R от центра с произвольным полярным углом.

Такое уравнение очень простое и его использование в заклинании "Интеграл" тоже очень просто. Но само заклинание видоизменяется, и вычисление площади фигуры для случая полярных координат имеет вид:

Посчитаем площадь нашей окружности

Заклинание для вычисления центра масс таких фигур (в полярных координатах) имеет вид:

Ну, а теперь расссмотрим замечательные кривые, которые имеют приятный вид именно в полярных координатах.

Первой будет КАРДИОИДА

Эту линию описывает фиксированная точка окружности, катящейся по неподвижной окружности такого же радиуса. Своё название линия получила из-за схожести со стилизованным изображением сердца (по-гречески кардио — сердце).

Уравнение этой линии в прямоугольных координатах следующее:

(x 2 +y 2 ) 2 -2ax(x 2 +y 2 )-a 2 y 2 =0,

где а — радиус окружностей.

Впечатляет, правда? Нет даже в мыслях попытки выразить y через x, потому что это гиблое дело. А вот зато уравнение в полярных координатах очень даже простое

Это один из видов уравнения. Оно может немного изменяться, будет меняться и местоположение кардиоиды, но вид её останется одним и тем же

Читайте также:  Программа каталог фильмов на компьютере

Есть и параметрическая запись кардиоиды

но запись в полярных координатах, несомненно, проще и нагляднее.

Сейчас я покажу, как получаются точки кардиоиды (возьму вид ρ(φ)=1+cosφ) и вообще любой кривой, заданной полярными координатами:

Соединим все точки и получим половину кардиоиды. Вторая половина, как можно легко установить, будет симметрична первой относительно горизонтальной прямой.

Следующая замечательная кривая — ПОЛЯРНАЯ РОЗА

Задаётся роза формулой

Как видно, константой а можно регулировать длину лепестков, а константой k — их количество.
Для нашего рисунка k=5.
Первый лепесток получается, когда φ пробегает интервал от 0 до π/5.
Второй — от 2π/5 до 3π/5.
третий — от 4π/5 до π.
Четвёртый — от 6π/5 до 7π/5.
И пятый — от 8π/5 до 9π/5.

В интервалах [π/5; 2π/5], [3π/5; 4π/5], [π; 6π/5], [7π/5; 8π/5], [9π/5; 2π] лепестков нет, потому что на этих интервалах получается отрицательное значение для радиуса (из-за отрицательного значения синуса), а он отрицательным быть не может.

Рассмотрим первый лепесток:

φ=0; ρ=0
φ=π/10; ρ=a*sin(π/2)=a — это будет максимальное значение на этом интервале
φ=π/5; ρ=0

Остальные лепестки получаются также, только уже на своих интервалах для φ.

А теперь домашнее задание.

1. Используя уравнение кардиоиды в декартовых координатах и формулы перевода декартовых координат в полярные, выведите уравнение кардиоиды в полярных координатах.

2. Постройте кривую, заданную вот таким уравнением в полярных координатах: ρ(φ)=a*√(cos (2φ)). Это лемниската Бернулли. Значение для а можно брать любым, удобным для вас.

3. Постройте полярную розу — трилистник.

4. Для кардиоиды рассчитайте координаты центра масс. А для одной замкнутой части лемнискаты Бернулли и одного лепестка трилистника — их площадь. Как вы думаете, где у этих фигур будет находиться приблизительно центр масс?

5. Смогут ли маги найти применение этим кривым, фигурам? Если да, то где?

Отправляйте работы через ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Свои вопросы смело можете передать с Персефоной

1. Уравнение. Кардиоиду можно определить как траекторию точки, лежащей на окружности круга радиуса r, который катится по окружности неподвижного круга с таким же радиусом. Она будет представлять собой, таким образом, эпициклоиду с модулем m, равным 1.

Это обстоятельство позволяет сразу же записать параметрические уравнения кардиоиды, заменяя в ранее приведенных параметрических уравнениях эпициклоид модуль m единицей. Будем иметь:

Чтобы получить полярное уравнение кардиоиды, удобно принять за полюс точку А (рис.7), а полярную ось направить по оси абсцисс. Так как четырехугольник AOO1M будет равнобедренной трапецией, то полярный угол точки М окажется равным углу поворота производящего круга, т. е. параметру t. Учитывая это обстоятельство, заменим во втором уравнении системы (1) у через sin t. Сокращая полученное таким образом равенство на sin t, получим полярное уравнение кардиоиды

Читайте также:  Документы в мобильной версии вк

По виду этого уравнения

можно заключить, что кардиоида является одной из улиток Паскаля. Она может быть определена, следовательно, как конхоида круга.

Переводя уравнение (2) в прямоугольную систему координат, получим:

Из этого уравнения следует, что кардиоида является алгебраической кривой 4-го порядка.

2. Свойства. Прежде всего, поскольку кардиоида является эпициклоидой с m=1, на нее можно перенести все свойства рассмотренных нами в предыдущем параграфе эпициклоид.

Вот эти свойства и характеристики.

  • 1. Касательная в произвольной точке кардиоиды проходит через точку окружности производящего круга, диаметрально противоположную точке касания кругов, а нормаль — через точку их касания.
  • 2. Угол , составляемый касательной к кардиоиде с радиусом-вектором точки касания, равен половине угла, образуемого этим радиусом-вектором с полярной осью.
  • 3. Радиус кривизны в произвольной точке кардиоиды определится по формуле

  • 4. Эволюта кардиоиды, согласно общему свойству эволют эпициклоид, будет также кардиоидой, подобной данной, с коэффициентом подобия, равным 1/3, и повернутой относительно данной на угол 180°.
  • 5. Длина дуги кардиоиды от точки А до произвольной точки М определится по формуле

Если длину дуги отсчитывать от точки А1, диаметрально противоположной точке А, то формула для определения длины дуги может быть записана в виде

6. Натуральное уравнение кардиоиды получится, если из равенств (4) и (6) исключить параметр. Оно будет иметь вид

7. Площадь, ограниченная кардиоидой, определится по формуле

и, как видно, равна ушестеренной площади производящего круга.

Длина всей кардиоиды определится по формуле

и, как видно, равна восьми диаметрам производящего круга. Объем тела, полученного от вращения кардиоиды вокруг ее оси, равен

Поверхность тела, полученного от вращения кардиоиды вокруг ее оси, равняется

Кардио́ида (греч. καρδία — сердце, греч. εἶδος — вид) — плоская линия, которая описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом [1] . Получила своё название из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца.

Содержание

Уравнения [ править | править код ]

Пусть a <displaystyle a> — радиусы окружностей, начало координат находится в крайней правой точке горизонтального диаметра неподвижной окружности (см. рисунок). Тогда уравнения кардиоиды можно записать в следующих формах [2] :

  • В прямоугольных координатах[1] : ( x 2 + y 2 + 2 a x ) 2 − 4 a 2 ( x 2 + y 2 ) = 0 <displaystyle (x^<2>+y^<2>+2ax)^<2>-4a^<2>(x^<2>+y^<2>),=,0>
  • В прямоугольных координатах (параметрическая запись): x = 2 a cos ⁡ t − a cos ⁡ 2 t <displaystyle x=2acos t-acos 2t>y = 2 a sin ⁡ t − a sin ⁡ 2 t <displaystyle y=2asin t-asin 2t>
  • В полярных координатах[2][1] : r = 2 a ( 1 − cos ⁡ φ ) <displaystyle r=2a(1-cos varphi )>
Читайте также:  Не работает shockwave flash

Свойства [ править | править код ]

  • Кардиоида является частным случаем улитки Паскаля
  • Кардиоида является частным случаем синусоидальной спирали
  • Кардиоида — алгебраическая кривая четвёртого порядка.
  • Кардиоида имеет один касп.
  • Длина дуги одного витка кардиоиды, заданной формулой в полярных координатах

r = 2 a ( 1 − cos ⁡ φ ) <displaystyle r=2a(1-cos varphi )>равна: L = 2 ∫ 0 π r ( φ ) 2 + ( r ′ ( φ ) ) 2 d φ = ⋯ = 8 a ∫ 0 π 1 2 ( 1 − cos ⁡ φ ) d φ = 8 a ∫ 0 π sin ⁡ ( φ 2 ) d φ = 16 a <displaystyle L=2int _<0>^<pi ><sqrt <2>+(r'(varphi ))^<2>>>;dvarphi =cdots =8aint _<0>^<pi ><sqrt << frac <1><2>>(1-cos varphi )>>;dvarphi =8aint _<0>^<pi >sin(< frac <varphi ><2>>)dvarphi =16a>

  • Площадь фигуры, ограниченной кардиоидой, заданной формулой в полярных координатах

r = 2 a ( 1 − cos ⁡ φ ) <displaystyle r=2a(1-cos varphi )>равна: S = 2 ⋅ 1 2 ∫ 0 π ( r ( φ ) ) 2 d φ = ∫ 0 π 4 a 2 ( 1 − cos ⁡ φ ) 2 d φ = ⋯ = 4 a 2 ⋅ 3 2 π = 6 π a 2 <displaystyle S=2cdot < frac <1><2>>int _<0>^<pi ><(r(varphi ))^<2>>;dvarphi =int _<0>^<pi ><4a^<2>(1-cos varphi )^<2>>;dvarphi =cdots =4a^<2>cdot < frac <3><2>>pi =6pi a^<2>>.

Радиус кривизны любой линии:

ρ ( φ ) = [ r ( φ ) 2 + r ˙ ( φ ) 2 ] 3 / 2 r ( φ ) 2 + 2 r ˙ ( φ ) 2 − r ( φ ) r ¨ ( φ ) . <displaystyle
ho (varphi )=<frac <left[r(varphi )^<2>+<dot >(varphi )^<2>
ight]^<3/2>>

<2>+2<dot >(varphi )^<2>-r(varphi )<ddot >(varphi )>> .>

Что даёт для кардиоиды заданной уравнением в полярных координатах:

r ( φ ) = 2 a ( 1 − cos ⁡ φ ) = 4 a sin 2 ⁡ φ 2 , <displaystyle r(varphi )=2a(1-cos varphi )=4asin ^<2>< frac <varphi ><2>>,> ρ ( φ ) = ⋯ = [ 16 a 2 sin 2 ⁡ φ 2 ] 3 2 24 a 2 sin 2 ⁡ φ 2 = 8 3 a sin ⁡ φ 2 . <displaystyle
ho (varphi )=cdots =<frac <[16a^<2>sin ^<2><frac <varphi ><2>>]^<frac <3><2>>><24a^<2>sin ^<2><frac <varphi ><2>>>>=<frac <8><3>>asin <frac <varphi ><2>> .>

Обобщение [ править | править код ]

  • Кардиоида есть Синусоидальная спираль при n = 1 2 <displaystyle extstyle n=<frac <1><2>>>;
  • Кардиоида есть Улитка Паскаля при a = ℓ <displaystyle a=ell >.

История [ править | править код ]

Кардиоида впервые встречается в трудах французского учёного Луи Карре (Louis Carrè, 1705 г.). Название кривой дал в 1741 году Джованни Сальвемини ди Кастиллоне (он упоминается также как Johann Francesco Melchiore Salvemini Castillon).

«Спрямление», то есть вычисление длины кривой, выполнил Ла Ир (Philippe de La Hire), который открыл кривую независимо, в 1708 году. Также независимо описал кардиоиду голландский математик Й. Коерсма (J. Koersma, 1741 год). В дальнейшем к кривой проявляли интерес многие видные математики XVIII—XIX веков.

Ссылка на основную публикацию
Технология etth что это
ETTH — Ethernet To The Home (ETTH) is a specific application of Fiber to the premises (FTTP) that first emerged...
Схема бп fsp350 60evf
Внимание! Все работы с силовыми цепями необходимо проводить соблюдая технику безопасности! В сети интернет можно найти очень много описаний и...
Схема включения синхронного генератора
Цель работы: целью лабораторной работы является изучение методов подключения генератора к системе методом точной синхронизации в ручном режиме. При подключении...
Технология nfc в наушниках что это
NFC — это аббревиатура от английского Near Field Communication. С помощью этой технологии становится возможным обмен данными между различными устройствами,...
Adblock detector