Уравнение четвертой степени как решать

Уравнение четвертой степени как решать

Министерство образования Республики Беларусь

Белорусский национальный технический университет

Факультет транспортных коммуникаций

Кафедра “Высшая математика №3”

Решение алгебраических уравнений 4-ой степени

Выполнили: студенты группы 11403512

Микулёнок В.А., Ковенко В.Н.

Руководитель: Неверович Т.С.

Решение алгебраических уравнений 4 степени

Уравнение четвёртой степени — в математике алгебраическое уравнение вида:

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любом значении коэффициентов).

Так как является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если, то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный минимум. Аналогично, если, то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный максимум.

График многочлена 4-ой степени с четырьмя корнями и тремя критическими точками.

Уравнения четвёртой степени впервые были рассмотрены древнеиндийскими математиками между IV в. до н. э. и II в. н. э.

Лодовико Феррари приписывается получение решения уравнения четвёртой степени в 1540, но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано, а было опубликовано только в 1545 вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари — Джероламо Кардано в книге «Великое искусство».

То, что это наибольшая степень уравнения, для которого можно указать общую формулу решения было доказано в теореме Абеля — Руффини в 1824.

Биквадратное уравнение — уравнение четвёртой степени вида

Где — заданные комплексные числа и . Подстановкой

сводится к квадратному уравнению относительно y.

Четыре его корня: .

2. Возвратное уравнение четвёртой степени

Возвратное уравнение четвёртой степени является также относительно легко решаемым: для такого, что , решение находится приведением к виду: и после замены ищется решение квадратного уравнения

3.Решение Декарта — Эйлера

В уравнение четвёртой степени:

алгебраический уравнение биквадратный множитель

Сделаем подстановку и получим уравнение в следующем виде (оно называется «неполным»):

где

Корни y1, y2, y3, y4 такого уравнения равны одному из следующих выражений:

в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:

Причём z1, z2, z3 — это корни кубического уравнения

4. Решение Феррари

Схема метода Феррари

Целью данного раздела является изложение метода Феррари, с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени

где a, a1, a2, a3, a4 – произвольные вещественные числа, причем

Метод Феррари состоит из двух этапов.

На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.

На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Приведение уравнений 4-ой степени.

Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a . Тогда оно примет вид

X 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, (2)

где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.

Сделаем в уравнении (2) замену

Читайте также:  Не явился в гибдд по административному делу

(3)

где y – новая переменная.

то уравнение (2) принимает вид

(4)

Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

y 4 + py 2 + qy + r = 0, (5)

где p, q, r – вещественные числа.

Первый этап метода Феррари завершён.

Разложение на множители. Кубическая резольвента

Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение 2sy 2 + s 2 ,

где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим

Следовательно, уравнение (5) принимает вид

(6)

Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения

(7)

то уравнение (6) примет вид

(8)

или, раскрыв скобки, — в виде

(9)

Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).

Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».

Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение

(10)

а также квадратное уравнение

(11)

Вывод метода Феррари завершен.

Пример. Решить уравнение

X 4 + 4x 3 – 4x 2 – 20x – 5 = 0. (12)

Решение. В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену

X 4 + 4x 3 – 4x 2 – 20x – 5 = (y – 1) 4 + 4(y – 1) 3 – 4(y – 1) 2 – 20(y – 1) – 5 =

= y 4 – 4y 3 + 6y 2 – 4y + 1 + 4y 3 – 12y 2 + 12y – 4 – 4y 2 + 8y – 4 – 20y + 20 – 5 = y 4 – 10y 2 – 4y + 8,

то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид

y 4 – 10y 2 – 4y + 8 = 0. (14)

В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства

p = – 10, q = – 4, r = 8. (15)

В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение

2s 3 + 10s 2 – 16s – 84 = 0,

которое при сокращении на 2 принимает вид:

s 3 + 5s 2 – 8s – 42 = 0. (16)

Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения (16) является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число

Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение

корни которого имеют вид:

(18)

Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение

корни которого имеют вид:

(19)

В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):

Ответ:

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 4-ОЙ СТЕПЕНИ ПО СХЕМЕ ГОРНЕРА

2x 4 + 5x 3 — 11x 2 — 20x + 12 = 0

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 12 являются ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Начнем их подставлять по-очереди:

1: 2 + 5 — 11 — 20 + 12 = -12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: 2 — 5 — 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 — 11 ∙ 4 — 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

Читайте также:  Японские вещи интернет магазин

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x — 2. Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

2 5 -11 -20 12
2

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:

2 5 -11 -20 12
2 2
Во вторую ячейку второй строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки.
2 5 -11 -20 12 2 2 9 2 ∙ 2 + 5 = 9
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 2 ∙ 9 — 11 = 7
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 2 ∙ 7 — 20 = -6
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 2 ∙ (-6) + 12 = 0

Последнее число — это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

2x 4 + 5x 3 — 11x 2 — 20x + 12 = (x — 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x — 6)

Но это еще не конец. Можно попробовать разложить таким же способом многочлен 2x 3 + 9x 2 + 7x — 6.

Опять ищем корень среди делителей свободного члена. Делителями числа -6 являются ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 2 + 9 + 7 — 6 = 12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: -2 + 9 — 7 — 6 = -6 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 — 6 = 60 ⇒ число 2 не является корнем многочлена

-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) — 6 = 0 ⇒ число -2 является корнем многочлена

Напишем найденный корень в нашу схему Горнера и начнем заполнять пустые ячейки:

2 5 -11 -20 12
2 2 9 7 -6
-2 2
Во вторую ячейку третьей строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки второй строки.
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 -2 2 5 -2 ∙ 2 + 9 = 5
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 -2 2 5 -3 -2 ∙ 5 + 7 = -3
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 -2 2 5 -3 -2 ∙ (-3) — 6 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

2x 4 + 5x 3 — 11x 2 — 20x + 12 = (x — 2)(x + 2)(2x 2 + 5x — 3)

Многочлен 2x 2 + 5x — 3 тоже можно разложить на множители. Для этого можно решить квадратное уравнение через дискриминант, а можно поискать корень среди делителей числа -3. Так или иначе, мы придем к выводу, что корнем этого многочлена является число -3

2 5 -11 -20 12
2 2 9 7 -6
-2 2 5 -3
-3 2
Во вторую ячейку четвертой строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки третьей строки.
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 -2 2 5 -3 -3 2 -1 -3 ∙ 2 + 5 = -1
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 -2 2 5 -3 -3 2 -1 -3 ∙ (-1) — 3 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на линейные множители:

2x 4 + 5x 3 — 11x 2 — 20x + 12 = (x — 2)(x + 2)(x + 3)(2x — 1)

Схема метода Феррари
Приведение уравнений 4-ой степени
Разложение на множители. Кубическая резольвента
Пример решения уравнения 4-ой степени
Читайте также:  Хороший мультиметр для радиолюбителя

Схема метода Феррари

Целью данного раздела является изложение метода Феррари , с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени

ax 4 + a1x 3 + a2x 2 +
+ a3x + a4 = 0,
(1)

где a, a1, a2, a3, a4 – произвольные вещественные числа, причем

Метод Феррари состоит из двух этапов.

На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.

На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Приведение уравнений 4-ой степени

Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a . Тогда оно примет вид

x 4 + ax 3 + bx 2 +
+ cx + d = 0,
(2)

где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.

Сделаем в уравнении (2) замену

(3)

где y – новая переменная.

то уравнение (2) принимает вид

В результате уравнение (2) принимает вид

Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

y 4 + py 2 + qy + r = 0, (5)

где p, q, r – вещественные числа.

Первый этап метода Феррари завершён.

Разложение на множители. Кубическая резольвента

Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение

где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим

Следовательно, уравнение (5) принимает вид

Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения

то уравнение (6) примет вид

Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде

или, раскрыв скобки, — в виде

Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).

Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».

Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение

а также квадратное уравнение

Вывод метода Феррари завершен.

Пример решения уравнения 4-ой степени

Пример . Решить уравнение

x 4 + 4x 3 – 4x 2 –
– 20x – 5 = 0.
(12)

Решение . В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену

x = y – 1. (13)

то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид

y 4 – 10y 2 – 4y + 8 = 0. (14)

В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства

p = – 10, q = – 4, r = 8. (15)

В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение

которое при сокращении на 2 принимает вид:

s 3 + 5s 2 – 8s – 42 = 0. (16)
s = – 3. (17)

Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение

Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение

В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):

Замечание . При решении примера мы попутно получили разложение левой части уравнения (14) на множители:

y 4 – 10y 2 – 4y + 8 =
= (y 2 – 2y – 4) (y 2 +
+ 2y – 2).
(20)

Предоставляем посетителю нашего сайта возможность убедиться в справедливости равенства (19) в качестве несложного упражнения.

Ссылка на основную публикацию
Технология etth что это
ETTH — Ethernet To The Home (ETTH) is a specific application of Fiber to the premises (FTTP) that first emerged...
Схема бп fsp350 60evf
Внимание! Все работы с силовыми цепями необходимо проводить соблюдая технику безопасности! В сети интернет можно найти очень много описаний и...
Схема включения синхронного генератора
Цель работы: целью лабораторной работы является изучение методов подключения генератора к системе методом точной синхронизации в ручном режиме. При подключении...
Технология nfc в наушниках что это
NFC — это аббревиатура от английского Near Field Communication. С помощью этой технологии становится возможным обмен данными между различными устройствами,...
Adblock detector