Уравнение 4 степени с параметром

Уравнение 4 степени с параметром

Министерство образования Республики Беларусь

Белорусский национальный технический университет

Факультет транспортных коммуникаций

Кафедра “Высшая математика №3”

Решение алгебраических уравнений 4-ой степени

Выполнили: студенты группы 11403512

Микулёнок В.А., Ковенко В.Н.

Руководитель: Неверович Т.С.

Решение алгебраических уравнений 4 степени

Уравнение четвёртой степени — в математике алгебраическое уравнение вида:

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любом значении коэффициентов).

Так как является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если, то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный минимум. Аналогично, если, то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный максимум.

График многочлена 4-ой степени с четырьмя корнями и тремя критическими точками.

Уравнения четвёртой степени впервые были рассмотрены древнеиндийскими математиками между IV в. до н. э. и II в. н. э.

Лодовико Феррари приписывается получение решения уравнения четвёртой степени в 1540, но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано, а было опубликовано только в 1545 вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари — Джероламо Кардано в книге «Великое искусство».

То, что это наибольшая степень уравнения, для которого можно указать общую формулу решения было доказано в теореме Абеля — Руффини в 1824.

Биквадратное уравнение — уравнение четвёртой степени вида

Где — заданные комплексные числа и . Подстановкой

сводится к квадратному уравнению относительно y.

Четыре его корня: .

2. Возвратное уравнение четвёртой степени

Возвратное уравнение четвёртой степени является также относительно легко решаемым: для такого, что , решение находится приведением к виду: и после замены ищется решение квадратного уравнения

3.Решение Декарта — Эйлера

В уравнение четвёртой степени:

алгебраический уравнение биквадратный множитель

Сделаем подстановку и получим уравнение в следующем виде (оно называется «неполным»):

где

Корни y1, y2, y3, y4 такого уравнения равны одному из следующих выражений:

в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:

Причём z1, z2, z3 — это корни кубического уравнения

4. Решение Феррари

Схема метода Феррари

Целью данного раздела является изложение метода Феррари, с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени

где a, a1, a2, a3, a4 – произвольные вещественные числа, причем

Метод Феррари состоит из двух этапов.

На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.

На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Приведение уравнений 4-ой степени.

Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a . Тогда оно примет вид

X 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, (2)

где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.

Сделаем в уравнении (2) замену

(3)

где y – новая переменная.

то уравнение (2) принимает вид

(4)

Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

y 4 + py 2 + qy + r = 0, (5)

где p, q, r – вещественные числа.

Первый этап метода Феррари завершён.

Разложение на множители. Кубическая резольвента

Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение 2sy 2 + s 2 ,

где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим

Следовательно, уравнение (5) принимает вид

(6)

Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения

(7)

то уравнение (6) примет вид

(8)

или, раскрыв скобки, — в виде

(9)

Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).

Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».

Читайте также:  Как удалить избранное в яндексе на телефоне

Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение

(10)

а также квадратное уравнение

(11)

Вывод метода Феррари завершен.

Пример. Решить уравнение

X 4 + 4x 3 – 4x 2 – 20x – 5 = 0. (12)

Решение. В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену

X 4 + 4x 3 – 4x 2 – 20x – 5 = (y – 1) 4 + 4(y – 1) 3 – 4(y – 1) 2 – 20(y – 1) – 5 =

= y 4 – 4y 3 + 6y 2 – 4y + 1 + 4y 3 – 12y 2 + 12y – 4 – 4y 2 + 8y – 4 – 20y + 20 – 5 = y 4 – 10y 2 – 4y + 8,

то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид

y 4 – 10y 2 – 4y + 8 = 0. (14)

В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства

p = – 10, q = – 4, r = 8. (15)

В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение

2s 3 + 10s 2 – 16s – 84 = 0,

которое при сокращении на 2 принимает вид:

s 3 + 5s 2 – 8s – 42 = 0. (16)

Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения (16) является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число

Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение

корни которого имеют вид:

(18)

Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение

корни которого имеют вид:

(19)

В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):

Ответ:

Разделы: Математика

1.1. Общая методическая концепция решения уравнений с параметрами

Пусть дано уравнение F(x, a) = 0, (1)

если ставится задача для каждого значения а А решить уравнение (1) относительно х, т.е. получить уравнение

то уравнение (1) называется уравнением с неизвестным х и параметром а. А – область изменения параметра. Принято считать, что А – множество действительных чисел. Решить уравнение (1) – значит решить множество уравнений, которые получаются из уравнения (1) при а R. Сделать это можно, если по некоторому признаку разбить множество А на подмножества и решить заданное уравнение на каждом из них. Значения а называются контрольными.

1.2. Использование параметра как равноправной переменной

Некоторые уравнения бывает целесообразно решать, рассматривая их как уравнение именно относительно параметра, который фигурирует в условии, а не относительно искомой переменной. Этот путь эффективен, в частности, в тех случаях, когда степень переменной относительно высока, а степень параметра равна двум.

Пример 1. Решить уравнение с параметром.

2x 3 – (а+2)х 2 – ах + а 2 = 0 (1)

Решение: Данное уравнение можно рассматривать как квадратное относительно параметра а, переписав его в виде:

а 2 – х(х+1)а – 2х 2 + 2х 3 = 0 (2)

Найдем дискриминант D.

D = х 2 (х+1) 2 – 8(х 3 – х 2 ) = х 4 — 6х 3 + 9х 2 = х 2 (х 2 — 6х + 9) = х 2 (х — 3) 2 .

Найдем корни уравнения (2).

; а2 = 2х.

Получим уравнение (а – х 2 + х)(а – 2х) = 0 равносильное исходному уравнению, которое ещё в свою очередь равносильно совокупности

Рассмотрим уравнение х 2 – х – а = 0, D = 1 – 4а.

D = 0 при а = -1/4 один корень х = 1/2

D 0 при а > -1/4 два корня

Рассмотрим уравнение х = а/2, при а = -1/4, х = -1/8.

Ответ: при а > -1/4 три корня: х1 = а/2,

при а = -1/4 два корня: х1 = -1/8; х 2 = ½

при а 4 – (а+2)х 3 – (а – 1)х 2 + (а 2 – 1) = 0;

  • x 4 + 6х 3 + (4 – 2а)х 2 – (6а + 1)х + а 2 + а = 0;
  • х 3 + (2а – 3)х 2 + (а 2 – 4а + 2)х – а 2 + 2а = 0;
  • х 3 — (2а + 3)х 2 + (а 2 + 4а + 2)х – а 2 – 2а = 0.
  • 1.3. Графический способ решения уравнений с параметрами

    Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах. В самом деле, поскольку параметр «равен в правах» с переменной, то ему, естественно можно выделить и свою координатную ось. Таким образом, возникает координатная плоскость (х; а). Рассмотрим примеры.

    Читайте также:  Как изменить текст сообщения в вк

    Пример 1. В зависимости от параметра а определить число корней уравнения.

    x 4 – 10х 3 – 2(а — 11)х 2 + 2(5а + 6)х + 2а + а 2 = 0;

    Решение. Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно а.

    а 2 + 2а(1 + 5х – х 2 ) + (х 4 – 10х 3 + 22х 2 + 12х) = 0;

    D/4 = 1 + 25х 2 + х 4 + 10х – 10х 3 – 2х 2 – х 4 + 10х 3 – 22х 2 – 12х = х 2 – 2х +1 = = (х – 1) 2

    Найдем а1 и а2 ; а1 = х 2 -5х – 1 + х – 1 = х 2 — 4х – 2;

    а2 = х 2 -5х – 1 — х + 1 = = х 2 – 6х.

    Теперь обращаемся к координатной плоскости (х; а).

    х 2 — 4х – 2 = х 2 – 6х, 2х = 2, х = 1, а(1) = -5.

    Ответ: если а -5, то четыре решения.

    Упражнения

    Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет три решения.

    1. (х 2 – 12а) 2 – 24х 2 + 32х + 96а = 0;
    2. (2х 2 – а) 2 – 24х 2 + 16х + 4а = 0;
    3. (2х 2 – а) 2 = 13х 2 + 6х – 2а = 0.

    1.4. Использование свойств функций для решения алгебраических уравнений

    На выпускных экзаменах за курс средней школы встречаются уравнения с параметром, решение которых связано с использованием четности функций. Напомним определение четности функции.

    Определение. Функция f(x) называется четной, если f(-x) = f(x) для любого х из области определения этой функции. График четной функции симметричен относительно оси ординат. У четной функции область определения симметрична относительно начала координат.

    Пример 1. Может ли при каком-нибудь значении а уравнение

    2х 8 – 3ах 6 + 4х 4 – ах 2 = 5 иметь 5 корней?

    Решение. Обозначим f(x) = 2х 8 – 3ах 6 + 4х 4 – ах 2 . f(x) – функция четная, поэтому, если х0 – корень данного уравнения, то – х – тоже, х = 0 не является корнем данного уравнения (0 ≠ 5). Следовательно, число корней у этого уравнения при любом действительном а четно, поэтому 5 корней оно иметь не может.

    Пример 2. При каком значении а уравнение х 10 – а|х| + a 2 – а = 0 имеет единственное решение?

    Решение. Обозначим f(x) = х 10 – а|х| + a 2 – а, f(x) – функция четная, поэтому, если х0 – корень данного уравнения, то – х – тоже. Значит для единственности решения необходимо, чтобы х = 0. В этом случае из уравнения получим: a 2 – а = 0, а = 0 или а = 1. Проверим достаточность каждого из полученных значений параметра а,

    при а = 0, х 10 = 0, т.е. х = 0 единственное решение.

    при а = 1, х 10 — |x| = 0. Корнями являются числа ± 1, 0.

    Ответ: при а = 0 уравнение имеет единственное решение.

    Упражнения

    1. Может ли при каком-нибудь а уравнение 2х 6 – х 4 – ах 2 = 1 иметь три корня?
    2. Может ли при каком-нибудь а уравнение 2х 6 – 2ах 4 + 3х 2 = 4 иметь пять корней?
    3. При каком значении а уравнение имеет единственное решение?

    1.5. Метод замены

    Как мы уже знаем, что рациональное и быстрое решение уравнения зависит от замены переменной. Рассмотрим примеры, для решения которых нужны специальные замены, которые приводят как раз к быстрому решению уравнений.

    Пример 1. Решить уравнение (х + 2а)(х +3а)(х + 8а)(х + 12а) = 4а 2 х 2 ,

    где а – параметр.

    Решение. Данное уравнение относится к уравнению вида

    (х + а)(х +b)(х + c)(х + d) = Eх 2 (см. п. 2.5 (3))

    Используя специфику решения такого уравнения, будем иметь:

    (х 2 + 14ах +24а 2 )( х 2 + 11ах +24а 2 ) = 4а 2 х 2

    Если а = 0, то х = 0.

    Обратно, если а ≠ 0, то х ≠ 0.

    Разделим обе части этого уравнения на а 2 х 2 , будем иметь

    В полученном уравнении сделаем подстановку и получим уравнение (у + 14)(у + 11) = 4, у 2 + 25у + 150 = 0, у1 = — 15, у2 = — 10.

    Читайте также:  Не загружает страницу вконтакте

    Таким образом, получим два уравнения

    и

    Решим первое уравнение х 2 + 15ах + 24а 2 = 0, D = 129a 2 , х1,2

    Решим второе уравнение х 2 + 10ах + 24а 2 = 0, D = 4a 2

    х 3 = -6а, х 4 = -4а

    Ответ: если а = 0, то х = 0
    если а ≠ 0, то х1,2, х 3 = -6а, х 4 = -4а

    Упражнения

    1. Найдите все действительные значения величины а, при которых уравнение х(х +1)(х + а)(х + 1 + а) = а 2 имеет четыре действительных корня.
    2. Решить уравнение х 4 + а 4 – 3ах 3 + 3а 2 х = 0.
    3. При каких значениях а уравнение (х 2 – 2х) 2 — (а + 2)(х 2 – 2х) + 3а – 3 = 0 имеет четыре корня?
    4. Решить уравнение (х + а)(х + 2а)(х + 3а)(х + 4а) = 3а 4
    Схема метода Феррари
    Приведение уравнений 4-ой степени
    Разложение на множители. Кубическая резольвента
    Пример решения уравнения 4-ой степени

    Схема метода Феррари

    Целью данного раздела является изложение метода Феррари , с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени

    ax 4 + a1x 3 + a2x 2 +
    + a3x + a4 = 0,
    (1)

    где a, a1, a2, a3, a4 – произвольные вещественные числа, причем

    Метод Феррари состоит из двух этапов.

    На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.

    На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

    Приведение уравнений 4-ой степени

    Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a . Тогда оно примет вид

    x 4 + ax 3 + bx 2 +
    + cx + d = 0,
    (2)

    где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.

    Сделаем в уравнении (2) замену

    (3)

    где y – новая переменная.

    то уравнение (2) принимает вид

    В результате уравнение (2) принимает вид

    Если ввести обозначения

    то уравнение (4) примет вид

    y 4 + py 2 + qy + r = 0, (5)

    где p, q, r – вещественные числа.

    Первый этап метода Феррари завершён.

    Разложение на множители. Кубическая резольвента

    Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение

    где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим

    Следовательно, уравнение (5) принимает вид

    Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения

    то уравнение (6) примет вид

    Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде

    или, раскрыв скобки, — в виде

    Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).

    Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».

    Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение

    а также квадратное уравнение

    Вывод метода Феррари завершен.

    Пример решения уравнения 4-ой степени

    Пример . Решить уравнение

    x 4 + 4x 3 – 4x 2 –
    – 20x – 5 = 0.
    (12)

    Решение . В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену

    x = y – 1. (13)

    то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид

    y 4 – 10y 2 – 4y + 8 = 0. (14)

    В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства

    p = – 10, q = – 4, r = 8. (15)

    В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение

    которое при сокращении на 2 принимает вид:

    s 3 + 5s 2 – 8s – 42 = 0. (16)
    s = – 3. (17)

    Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение

    Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение

    В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):

    Замечание . При решении примера мы попутно получили разложение левой части уравнения (14) на множители:

    y 4 – 10y 2 – 4y + 8 =
    = (y 2 – 2y – 4) (y 2 +
    + 2y – 2).
    (20)

    Предоставляем посетителю нашего сайта возможность убедиться в справедливости равенства (19) в качестве несложного упражнения.

    Ссылка на основную публикацию
    Технология etth что это
    ETTH — Ethernet To The Home (ETTH) is a specific application of Fiber to the premises (FTTP) that first emerged...
    Схема бп fsp350 60evf
    Внимание! Все работы с силовыми цепями необходимо проводить соблюдая технику безопасности! В сети интернет можно найти очень много описаний и...
    Схема включения синхронного генератора
    Цель работы: целью лабораторной работы является изучение методов подключения генератора к системе методом точной синхронизации в ручном режиме. При подключении...
    Технология nfc в наушниках что это
    NFC — это аббревиатура от английского Near Field Communication. С помощью этой технологии становится возможным обмен данными между различными устройствами,...
    Adblock detector