Теория вероятности задачи про шары с решением

Теория вероятности задачи про шары с решением

Общая постановка задачи примерно* следующая:

В урне находится $K$ белых и $N-K$ чёрных шаров (всего $N$ шаров). Из нее наудачу и без возвращения вынимают $n$ шаров. Найти вероятность того, что будет выбрано ровно $k$ белых и $n-k$ чёрных шаров.

По классическому определению вероятности, искомая вероятность находится по формуле гипергеометрической вероятности (см. пояснения тут):

*Поясню, что значит "примерно": шары могут выниматься не из урны, а из корзины, или быть не черными и белыми, а красными и зелеными, большими и маленькими и так далее. Главное, чтобы они были ДВУХ типов, тогда один тип вы считаете условно "белыми шарами", второй — "черными шарами" и смело используете формулу для решения (поправив в нужных местах текст конечно:)).

Видеоурок и шаблон Excel

Посмотрите наш ролик о решении задач про шары в схеме гипергеометрической вероятности, узнайте, как использовать Excel для решения типовых задач.

Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать и использовать для решения своих задач.

Примеры решений задач о выборе шаров

Пример 1. В урне 10 белых и 8 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 2 белых шара.

Подставляем в формулу (1) значения: $K=10$, $N-K=8$, итого $N=10+8=18$, выбираем $n=5$ шаров, из них должно быть $k=2$ белых и соответственно, $n-k=5-2=3$ черных. Получаем:

Пример 2. В урне 5 белых и 5 красных шаров. Какова вероятность вытащить наудачу оба белых шара?

Здесь шары не черные и белые, а красные и белые. Но это совсем не влияет на ход решения и ответ.

Подставляем в формулу (1) значения: $K=5$ (белых шаров), $N-K=5$ (красных шаров), итого $N=5+5=10$ (всего шаров в урне), выбираем $n=2$ шара, из них должно быть $k=2$ белых и соответственно, $n-k=2-2=0$ красных. Получаем:

Пример 3. В корзине лежат 4 белых и 2 черных шара. Из корзины достали 2 шара. Какова вероятность, что они одного цвета?

Здесь задача немного усложняется, и решим мы ее по шагам. Введем искомое событие
$A = $ (Выбранные шары одного цвета) = (Выбрано или 2 белых, или 2 черных шара).
Представим это событие как сумму двух несовместных событий: $A=A_1+A_2$, где
$A_1 = $ (Выбраны 2 белых шара),
$A_2 = $ (Выбраны 2 черных шара).

Читайте также:  Уравнение 4 степени с параметром

Выпишем значения параметров: $K=4$ (белых шаров), $N-K=2$ (черных шаров), итого $N=4+2=6$ (всего шаров в корзине). Выбираем $n=2$ шара.

Для события $A_1$ из них должно быть $k=2$ белых и соответственно, $n-k=2-2=0$ черных. Получаем:

Для события $A_2$ из выбранных шаров должно оказаться $k=0$ белых и $n-k=2$ черных. Получаем:

Тогда вероятность искомого события (вынутые шары одного цвета) есть сумма вероятностей этих событий:

1.Задача. Сколько элементарных исходов благоприятствует событию «на обоих кубиках выпало одинаковое количество очков» при подбрасывании двух игральных кубиков?

Решение: Этому событию благоприятствуют 6 элементарных исходов (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6).

2.Задача. Подбрасываются три игральных кубика, подсчитываются сумма очков, выпавших на них. Сколькими способами можно получить в сумме 5 очков, 6 очков?

Решение: Получить в сумме 5 очков можно шестью способами: (1;1;3), (1;3;1), (1;1;3), (1;2;2), (2;1;2), (2;2;1). Получить в сумме 6 очков можно десятью способами (1;1;4), (1;4;1), (4;1;1), (1;2;3), (1;3;2), (2;1;3), (2;3;1), (3;1;2), (3;2;1), (2;2;2).

3.Задача. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После перемешивания из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется кратным 5, 4, 3?

Решение: Обозначим через А событие «число на взятой карточке кратно 5». В данном испытании имеется 30 равновозможных элементарных исходов, из которых событию А благоприятствую 6 исходов (числа 5, 10,15,20,25,30). Следовательно

4. Задача. Произвольно выбрано натуральное число, не превосходящее 10. Какова вероятность того, что это число является простым?

Решение: Обозначим буквой С событие «выбранное число является простым». В данном случае n=10, m=4 (простые числа 2, 3, 5, 7). Следовательно, искомая вероятность

5. Задача. Какова вероятность того, что в произвольно выбранном двузначном числе цифры одинаковы?

Решение: Двузначными числами являются числа от 10 до 99; всего таких чисел 90. Одинаковые цифры имеют 9 чисел (это числа 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Так как в данном случае m=9, а n=90, то

Читайте также:  Диагональное сечение прямого параллелепипеда

6. Задача. Подбрасываются две монеты. Чему равна вероятность того, что на верхних сторонах монет окажутся две цифры?

Решение: Обозначим буквой D событие «на верхней стороне каждой монеты оказалась цифра». В этом испытании 4 равновозможных элементарных исходов (Г;Г), (Г;Ц), (Ц;Г), (Ц;Ц). Запись (Г;Ц) означает, что на первой монете выпал герб, а на второй – цифра. Событию D благоприятствует один исход — (Ц;Ц).Поскольку m=1, а n=4, то

7. Задача. В книге 300 страниц. Чему равна вероятность того, что произвольным образом открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 5?

Решение: Из условия задачи следует, что всех равновозмож-ных элементарных исходов, образующих полную группу событий, будет n=300. А из них m=60 благоприятствует наступлению указанного события. Действительно, номер, кратный 5, имеет вид 5k, где k— натуральное число, причем 0

Задача 1.1. Бросают три монеты. Найти вероятность того, что только на двух монетах появится »герб».

Исследуемое событие А – только на двух монетах из трех будет герб. У монеты две стороны, значит всего событий при бросании трех монет будет 8. В трех случаях только на двух монетах будет герб. Вероятность события А вычислим с помощью формулы :

Ответ: вероятность 3/8.

Задача 1.2. Слово СОБЫТИЕ составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке заданного слова.

Испытание заключается в вынимании карточек с буквами в случайном порядке без возврата. Элементарным событием является полученная последовательность букв. Событие А состоит в получении нужного слова СОБЫТИЕ. Элементарные события являются перестановками из 7 букв, значит, по формуле имеем n= 7!

Буквы в слове СОБЫТИЕне повторяются, поэтому не возможны перестановки, при которых слово не изменяется. Их число равно 1.

Задача 1.3. Как и в предыдущей задаче, найти соответствующую вероятность случая, когда заданным словом является слова АНТОНОВ ИЛЬЯ.

Эта задача решается аналогично предыдущей.

Р(А) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200

Задача 1.4. В урне содержится 8 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется:

Читайте также:  Как пользоваться компьютером для начинающих инструкция

а) 3 белых шаров;

б) меньше, чем 3, белых шаров;

в) хотя бы один белый шар.

8 ч Испытанием будет случайное вынимание 5 шаров. Элементарными

6 б событиями являются всевозможные сочетания по 5 из 14 шаров. Их число равно

а) А1 — среди вынутых шаров 3 белых. Значит, среди вынутых шаров 3 белых и 2 черных. Используя правило умножения, получаем

б) А2 — среди вынутых шаров меньше чем 3 белых. Это событие состоит из трёх несовместных событий:

В1 — среди вынутых шаров только 2 белых и 3 черных шара,

В2 — среди вынутых шаров только один белый и 4 черных шара

В3 — среди вынутых шаров нет ни одного белого, все 5 шаров черные:

Так как события В1, В2 и В3 несовместимы, можно использовать формулу:

Р(А2) = 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 = 483/1001.

Задача 1.6. В первой урне 5 белых и 7 черных шаров, а во второй урне 6 белых и и 4 черных шаров. Из первой урны вынимают случайным образом 2 шара, а из второй — 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:

а) все шары одного цвета;

б) только три белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

1 урна 2 урна Шары вынимали из обеих урн независимо. Испытаниями

5 б 6 б являются извлечение двух шаров из первой урны и двух шаров

7 ч 4 ч из второй урны. Элементарными событиями будут сочетания

_____ ______ по 2 или 2 из 12 или 10 шаров соответственно.

2 2 а) А1 — все вынутые шары одного цвета, т.е. они или все белые,

Определим для каждой урны всевозможные события:

В1 — из первой урны вынуты 2 белых шара;

В2 — из первой урны вынуты 1 белых и 1 черный шар;

В3 — из первой урны вынуты 2 черных шара;

С1 — из второй урны вынуты 2 белых шара;

С2 — из второй урны вынуты 1 белый и 1 черный шар;

С3 — из второй урны вынуты 2 черных шара.

Найдем количество элементарных событий n1 и n2 для первой и второй урн соответственно. Имеем:

Найдем количество каждого элемента событий, определяющих следующие события:

Ссылка на основную публикацию
Схема бп fsp350 60evf
Внимание! Все работы с силовыми цепями необходимо проводить соблюдая технику безопасности! В сети интернет можно найти очень много описаний и...
Сообщение на тему жесткий диск по информатике
Информатика Основным устройством хранения информации в компьютерной системе является жесткий диск. Большой объем и энергонезависимость сделали его наиболее пригодным для...
Сообщение о выигрыше айфона
Да, почти всегда это обман и развод на деньги. Те, кто проводит ВКонтакте, Инстаграме и других соцсетях «конкурсы», «розыгрыши айфонов»,...
Схема включения синхронного генератора
Цель работы: целью лабораторной работы является изучение методов подключения генератора к системе методом точной синхронизации в ручном режиме. При подключении...
Adblock detector