Сумма ряда натуральных чисел формула

Сумма ряда натуральных чисел формула

Вопрос ученому: — Я слышал, что сумма всех натуральных чисел равна −1/12. Это какой-то фокус, или это правда?

Ответ пресс-службы МФТИ — Да, такой результат можно получить при помощи приема, называемого разложением функции в ряд.

Вопрос, заданный читателем, достаточно сложный, и потому мы отвечаем на него не обычным для рубрики «Вопрос ученому» текстом на несколько абзацев, а некоторым сильно упрощенным подобием математической статьи.

В научных статьях по математике, где требуется доказать некоторую сложную теорему, рассказ разбивается на несколько частей, и в них могут поочередно доказываться разные вспомогательные утверждения. Мы предполагаем, что читатели знакомы с курсом математики в пределах девяти классов, поэтому заранее просим прощения у тех, кому рассказ покажется слишком простым — выпускники могут сразу обратиться к http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation.

Начнем с разговора о том, как можно сложить все натуральные числа. Натуральные числа — это числа, которые используются для счета цельных предметов — они все целые и неотрицательные. Именно натуральные числа учат дети в первую очередь: 1, 2, 3 и так далее. Сумма всех натуральных чисел будет выражением вида 1+2+3+. = и так до бесконечности.

Ряд натуральных чисел бесконечен, это легко доказать: ведь к сколь угодно большому числу всегда можно прибавить единицу. Или даже умножить это число само на себя, а то и вычислить его факториал — понятно, что получится еще большая величина, которая тоже будет натуральным числом.

Детально все операции с бесконечно большими величинами разбираются в курсе математического анализа, но сейчас для того, чтобы нас поняли еще не сдавшие данный курс, мы несколько упростим суть. Скажем, что бесконечность, к которой прибавили единицу, бесконечность, которую возвели в квадрат или факториал от бесконечности — это все тоже бесконечность. Можно считать, что бесконечность — это такой особый математический объект.

И по всем правилам математического анализа в рамках первого семестра сумма 1+2+3+. +бесконечность — тоже бесконечна. Это легко понять из предыдущего абзаца: если к бесконечности что-то прибавить, она все равно будет бесконечностью.

Однако в 1913 году блестящий индийский математик-самоучка Сриниваса Рамануджан Айенгор придумал способ сложить натуральные числа несколько иным образом. Несмотря на то, что Рамануджан не получал специального образования, его знания не были ограничены сегодняшним школьным курсом — математик знал про существование формулы Эйлера-Маклорена. Так как она играет важную роль в дальнейшем повествовании, о ней придется тоже рассказать подробнее.

Для начала запишем эту формулу:

Как можно видеть, она достаточно сложна. Часть читателей может пропустить этот раздел целиком, часть может прочитать соответствующие учебники или хотя бы статью в Википедии, а для оставшихся мы дадим краткий комментарий. Ключевую роль в формуле играет произвольная функция f(x), которая может быть почти чем угодно, лишь бы у нее нашлось достаточное число производных. Для тех, кто не знаком с этим математическим понятием (и все же решился прочитать написанное тут!), скажем еще проще — график функции не должен быть линией, которая резко ломается в какой-либо точке.

Производная функции, если предельно упростить ее смысл, является величиной, которая показывает то, насколько быстро растет или убывает функция. С геометрической точки зрения производная есть тангенс угла наклона касательной к графику.

Слева в формуле стоит сумма вида «значение f(x) в точке m + значение f(x) в точке m+1 + значение f(x) в точке m+2 и так до точки m+n». При этом числа m и n — натуральные, это надо подчеркнуть особо.

Справа же мы видим несколько слагаемых, и они кажутся весьма громоздкими. Первое (заканчивается на dx) — это интеграл функции от точки m до точки n. Рискуя навлечь на себя гнев всей кафедры математики за примитивность подхода к интегралам, скажем, что это площадь под кривой f(x) на графике от m до n; интегралы очень широко используются в самых разных науках.

На графике «по горизонтальной оси — время, по вертикальной — скорость» интеграл, то есть площадь под кривой, будет равен пройденному пути. На графике «ежемесячные платежи по вертикали, по горизонтали время» интегралом будет сумма, пришедшая на счет за все время.

Третье слагаемое — сумма от чисел Бернулли (B2k), поделенных на факториал удвоенного значения числа k и умноженных на разность производных функции f(x) в точках n и m. Причем, что еще сильнее усложняет дело, тут не просто производная, а производная 2k-1 порядка. То есть все третье слагаемое выглядит так:

Число Бернулли B2 («2» так как в формуле стоит 2k, и мы начинаем складывать с k=1) делим на факториал 2 (это пока просто двойка) и умножаем на разность производных первого порядка (2k-1 при k=1) функции f(x) в точках n и m

Число Бернулли B4 («4» так как в формуле стоит 2k, а k теперь равно 2) делим на факториал 4 (1×2х3×4=24) и умножаем на разность производных третьего порядка (2k-1 при k=2) функции f(x) в точках n и m

Число Бернулли B6 (см.выше) делим на факториал 6 (1×2х3×4х5×6=720) и умножаем на разность производных пятого порядка (2k-1 при k=3) функции f(x) в точках n и m

Суммирование продолжается вплоть до k=p. Числа k и p получаются некоторыми произвольными величинами, которые мы можем выбирать по-разному, вместе с m и n — натуральными числами, которыми ограничен рассматриваемый нами участок с функцией f(x). То есть в формуле целых четыре параметра, и это вкупе с произвольностью функции f(x) открывает большой простор для исследований.

Читайте также:  Телефон для дачи с хорошим приемом

Оставшееся скромное R, увы, тут не константа, а тоже довольно громоздкая конструкция, выражаемая через уже упомянутые выше числа Бернулли. Теперь самое время пояснить, что это такое, откуда взялось и почему вообще математики стали рассматривать столь сложные выражения.

Числа Бернулли и разложения в ряд

В математическом анализе есть такое ключевое понятие как разложение в ряд. Это значит, что можно взять какую-то функцию и написать ее не напрямую (например y = sin(x^2) + 1/ln(x) + 3x), а в виде бесконечной суммы множества однотипных слагаемых. Например, многие функции можно представить как сумму степенных функций, умноженных на некоторые коэффициенты — то есть сложной формы график сведется к комбинации линейной, квадратичной, кубической. и так далее — кривых.

В теории обработки электрических сигналов огромную роль играет так называемый ряд Фурье — любую кривую можно разложить в ряд из синусов и косинусов разного периода; такое разложение необходимо для преобразования сигнала с микрофона в последовательность нулей и единиц внутри, скажем, электронной схемы мобильного телефона. Разложения в ряд также позволяют рассматривать неэлементарные функции, а ряд важнейших физических уравнений при решении дает именно выражения в виде ряда, а не в виде какой-то конечной комбинации функций.

В XVII столетии математики стали вплотную заниматься теорией рядов. Несколько позже это позволило физикам эффективно рассчитывать процессы нагрева различных объектов и решать еще множество иных задач, которые мы здесь рассматривать не будем. Заметим лишь то, что в программе МФТИ, как и в математических курсах всех ведущих физических вузов, уравнениям с решениями в виде того или иного ряда посвящен как минимум один семестр.

Якоб Бернулли исследовал проблему суммирования натуральных чисел в одной и той же степени (1^6 + 2^6 + 3^6 + . например) и получил числа, при помощи которых можно разложить в упомянутый выше степенной ряд другие функции — например, tg(x). Хотя, казалось бы, тангенс не очень-то похож хоть на параболу, хоть на какую угодно степенную функцию!

Полиномы Бернулли позже нашли свое применение не только в уравнениях матфизики, но и в теории вероятностей. Это, в общем-то, предсказуемо (ведь ряд физических процессов — вроде броуновского движения или распада ядер — как раз и обусловлен разного рода случайностями), но все равно заслуживает отдельного упоминания.

Громоздкая формула Эйлера-Маклорена использовалась математиками для разных целей. Так как в ней, с одной стороны, стоит сумма значений функций в определенных точках, а с другой — есть и интегралы, и разложения в ряд, при помощи этой формулы можно (в зависимости от того, что нам известно) как взять сложный интеграл, так и определить сумму ряда.

Сриниваса Рамануджан придумал этой формуле иное применение. Он ее немного модифицировал и получил такое выражение:

В качестве функции f(x) он рассмотрел просто x — пусть f(x) = x, это вполне правомерное допущение. Но для этой функции первая производная равна просто единице, а вторая и все последующие — нулю: если все аккуратно подставить в указанное выше выражение и определить соответствующие числа Бернулли, то как раз и получится −1/12.

Это, разумеется, было воспринято самим индийским математиком как нечто из ряда вон выходящее. Поскольку он был не просто самоучкой, а талантливым самоучкой, он не стал всем рассказывать про поправшее основы математики открытие, а вместо этого написал письмо Годфри Харди, признанному эксперту в области как теории чисел, так и математического анализа. Письмо, кстати, содержало приписку, что Харди, вероятно, захочет указать автору на ближайшую психиатрическую лечебницу: однако итогом, конечно, стала не лечебница, а совместная работа.

Суммируя все сказанное выше, получим следующее: сумма всех натуральных чисел получается равной −1/12 при использовании специальной формулы, которая позволяет разложить произвольную функцию в некоторый ряд с коэффициентами, называемыми числами Бернулли. Однако это не значит, что 1+2+3+4 оказывается больше, чем 1+2+3+. и так до бесконечности. В данном случае мы имеем дело с парадоксом, который обусловлен тем, что разложение в ряд — это своего рода приближение и упрощение.

Можно привести пример намного более простого и наглядного математического парадокса, связанного с выражением чего-то одного через что-то другое. Возьмем лист бумаги в клеточку и нарисуем ступенчатую линию с шириной и высотой ступеньки в одну клетку. Длина такой линии, очевидно, равна удвоенному числу клеток — а вот длина спрямляющей «лесенку» диагонали равна числу клеток, умноженному на корень из двух. Если сделать лесенку очень мелкой, она все равно будет той же длины и практически не отличимая от диагонали ломаная линия окажется в корень из двух раз больше той самой диагонали! Как видите, для парадоксальных примеров писать длинные сложные формулы вовсе не обязательно.

Формула Эйлера-Маклорена, если не вдаваться в дебри математического анализа, является таким же приближением, как и ломаная линия вместо прямой. Используя это приближение можно получить те самые −1/12, однако это далеко не всегда бывает уместно и оправдано. В ряде задач теоретической физики подобные выкладки применяются для расчетов, но это тот самый передний край исследований, где еще рано говорить о корректном отображении реальности математическими абстракциями, а расхождения разных вычислений друг с другом — вполне обычное дело.

Читайте также:  Сделать загрузочную флешку linux из iso

Так, оценки плотности энергии вакуума на основе квантовой теории поля и на основе астрофизических наблюдений различаются более чем на 120 порядков. То есть в 10^120 степени раз. Это одна из нерешенных задач современной физики; тут явно просвечивает пробел в наших знаниях о Вселенной. Или же проблема — в отсутствии подходящих математических методов для описания окружающего мира. Физики-теоретики совместно с математиками пытаются найти такие способы описать физические процессы, при которых не будет возникать расходящихся (уходящих в бесконечность) рядов, но это далеко не самая простая задача.

navi03

Меня сегодня увлекли новой темой.
Пришлось срочно изучить.
Речь идёт о посте Аввы, на который мне прислали ссылку (опять. ) :-)))

Очень-очень беглый набросок.
Первое впечатление от увиденного.

В ролике показано, как определяется сумма ряда натуральных чисел (S3) путём сложений и перестановок членов рядов, а также складыванием рядов с учётом сумм, полученных отдельно для рядов S1 и S2.

Первый ряд – ряд Гранди: 1 – 1 + 1 – 1 +1 …
Второй ряд – ряд 1-2+3-4+5…

Сумма для ряда Гранди (S1) была определена авторами по Чезаро (равна 1/2) и в качестве суммы для ряда 1-2+3-4+5 …(S2), взята сумма, предложенная Эйлером, которая так же может быть получена другими методами (1/4). Затем проделываются некие действия над этими рядами, с учётом этих сумм, в результате нам предъявляют сумму ряда натуральных чисел 1 + 2 +3 + 4…

Попытаюсь найти ошибку у авторов ролика.
У меня подозрения вот какие:

1) производятся некоторые недопустимые действия над рядами разных типов,
либо такие действия, которые над рядами таких типов производить нельзя, либо это ряды разных типов — отсюда и ложный результат.

2) и сумма по Чезаро и сумма Эйлера – это не есть обычная сумма, как для конечного ряда, в случае с бесконечным рядом — это только результат обобщённого суммирования. Определение суммы ряда через предел частичных сумм этого ряда — это условность.

Ну, а теперь посмотрим подробнее.

Как же авторы ролика ищут суммы рядов.
Да, речь идёт о нахождении суммы бесконечного ряда через предел его частичных сумм.
Ещё важно определить, с какого рода рядами мы имеем дело.

Сумма бесконечного числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится.

Для ряда Гранди применён метод нахождения по Чезаро, то есть ряд рассматривается как расходящийся.

Операция взятия чезаровского среднего обладает свойством регулярности — сохраняет свойство сходимости последовательности и её предел. В то же время, существует множество примеров, когда исходная последовательность не имеет предела, а её чезаровские средние сходятся. Это позволяет использовать чезаровские средние как один из методов суммирования расходящихся рядов.

Этот метод как раз и был применён авторами при нахождении суммы ряда Гранди (S1).

Однако, сумма ряда Гранди, которая по Чезаро может быть равна ½, может стать другой, если применить другие методы.

1) Если воспринимать ряд как телескопический ряд и попарно сгруппировать члены вот так:
(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.

2) Можно получить ещё и такой ответ:
1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.

Это всё, возможно, благодаря тому, что ряд Гранди проявляет свойства условно сходящегося ряда.
И как для условно сходящегося ряда для него будет действительна Теорема Римана об условно сходящихся рядах:

Пусть ряд сходится условно, тогда для любого числа S можно так поменять порядок суммирования, что сумма нового ряда будет равна S.

Таким образом, понятно, откуда взялись суммы равные 0 и 1.
—————

В тоже время ряд Гранди можно считать расходящейся геометрической прогрессией, и тогда, используя те же методы, что и при работе со сходящимися геометрическими прогрессиями, можно получить третье значение, ½.

Пишут, что в современной математике сумма ряда определяется как предел последовательности частичных сумм, если он существует.
Последовательность частичных сумм ряда Гранди, 1, 0, 1, 0, …,, очевидно, не стремится ни к одному числу (хотя и обладает двумя предельными точками 0 и 1). Таким образом, можно считать, что ряд Гранди расходится.

Применение таких операций, как перестановка членов, к рядам, не являющимся абсолютно сходящимися, может привести к изменению суммы. Несложно увидеть, как можно переставить члены ряда Гранди так, чтобы получить любое целое число, а не только 0 и 1.

В другом месте пишут, что «при суммировании условно сходящихся бесконечных рядов нужно обращать внимание, что перегруппировка слагаемых может привести к изменению результата (см. Теорема Римана об условно сходящихся рядах ). Например, «парадокс» с рядом Гранди ».
Этого можно избежать, если всегда рассматривать сумму первых n членов, а потом найти предел при n →∞.

Как видим, существует проблема с тем, чтобы определить, является ли ряд Гранди расходящимся или условно сходящимся рядом, или же он является одновременно и тем и другим.

Читайте также:  Летающий фотоаппарат как называется

Посмотрим, применима к ли к ряду Гранди Теорема Лейбница (признак Лейбница) — теорема об условной сходимости знакочередующихся рядов .

Теорема формулируется следующим образом. Знакочередующийся ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Простейшие примеры условно сходящихся рядов дают убывающие по абсолютной величине — знакочередующиеся ряды . Например, ряд сходится условно, если ряд из его абсолютных величин — гармонический ряд — расходится.
Некоторые свойства:

  • Если ряд условно сходится, то ряды, составленные из его положительных и отрицательных членов, расходятся.
  • При почленном умножении двух условно сходящихся рядов может получиться расходящийся ряд.

Теперь посмотрим ещё раз на ряд Гранди.

Мы можем видеть, что при том, что ряд Гранди считается условно сходящимся, если для него рассматривается Теорема Римана об условно сходящихся рядах и «парадокс» с рядом Гранди , на него явно не распространяются свойства теоремы Лейбница: ряды, составленные из его положительных и отрицательных членов, НЕ расходятся, как и НЕ расходится его гармонический ряд .

У меня сейчас очень сильное де-жа-вю на тему Единицы и её пограничных свойств, а также на тему одного из видов бесконечности…

—————————
2. Теперь посмотрим на следующий ряд:

Ряд 1-2+3-4+5 … — расходящийся.

Сумма этого ряда взята авторами ролика у Эйлера. Он предложил выражение в качестве обобщённой суммы ряда, и назвал его парадоксальным (но парадоксов мы как раз не боимся, если есть парадокс – явно можно рассчитывать на близость к истине).

1 − 2 + 3 − 4 + … = 1 ⁄ 4 .
Эйлер только показал, какую обобщённую сумму он увидел (интуиция просто). Строгие методы получения обобщённых сумм расходящихся рядов были сформулированы позже, многие из этих методов для суммы 1 − 2 + 3 − 4 + … тоже дают результат, равный 1 ⁄ 4 .

Суммирование по Чезаро не позволяет определить сумму этого ряда. Чтобы получить конечную сумму ряда обобщенным методом суммирования применяют другие методы, например, метод Абеля .

Моя интуиция мне тоже говорит, что сумма этого ряда будет равна 1 ⁄ 4 .
А сумма ряда Гранди равна 1 ⁄ 2 . И это видно совершенно чётко без всяких сложных вычислений.
Давайте посмотрим на переделы частичных сумм каждого ряда.

Посмотрите на эти рисунки:

На верхнем рисунке представлено графическое двумерное изображение направления роста частичных сумм ряда 0 + 1 − 2 + 3 − 4 + … (на самом деле всё это одномерно — на прямой, на рисунке сделано двумерное изображение для наглядности).

Если мысленно соединить точки, как показано на моём рисунке в тетрадке, видно, как ось симметрии пересекает числовую прямую как раз в точке предела сумм последовательности.
(Повторяю, всё одномерно, вторая ось — просто для ориентира).

То же самое, как можно видеть, происходит и со второй последовательностью (ряд Гранди).

По аналогии со второй схемой я могу совершенно нагло утверждать, что пределом частичных сумм ряда 2 – 2 + 2 – 2 + 2…, а также суммой всего ряда будет число 1.

Я просто мысленно построю аналогичную фигуру между точками 0 и 2, и увижу ось симметрии.
Математики, поправьте, если моя интуиция здесь нагло ошибается.
(Всякое бывает, конечно, я ко всему готова).

Интересно, что Эйлер трактовал ряды 1 − 2 + 3 − 4 + … и ряд Гранди (1 − 1 + 1 − 1 + …) как два частных случая ряда 1 − 2 n + 3 n − 4 n + …, который он изучал для произвольного n, работая над Базельской проблемой , и получил функциональные уравнения для функций, известных ныне как эта-функция Дирихле и дзета-функция Римана .

Не буду влезать в дзета-функцию Римана. Мне о ней ничего не известно, я считаю, что на сегодня с меня достаточно. Поэтому я просто соглашусь: Ладно, Эйлер, я согласна, что эти два ряда связаны, но всё же ряд Гранди очень сильно отличается своими свойствами (своими единицами и отсутствием передела).

И всё-таки они РАЗНЫЕ И ИХ НЕЛЬЗЯ СКЛАДЫВАТЬ и заменять друг другом.
Думаю, что мои вначале заявленные опасения оправдались. Производятся недозволенные действия над рядами разных видов: сложно-определяемой сходимости ряд Гранди и совершенно однозначно расходящийся второй ряд.

Невозможно определить сумму ряда 1+2+3+4.. через среднее по Чезаро, ни каким-то другим известным способом. Собственно говоря, именно поэтому и проводятся все те замены, которые показаны в ролике.

У частичных сумм ряда 1+2+3+4.. нет предела, чезаровские средние у него не сходятся, значит, этот метод не применим для суммирования этого ряда. Берутся два ряда, для которых такие-то условные суммы можно как-то получить, а затем несколькими заменами меняются одни ряды на другие так, как будто это ряды одного свойства (что совершенно не так).

Этот ряд совершенно другой категории, из другой области…
Опять-таки его нельзя получить такими манипуляциями, как это сделали люди в ролике (я не знаю, кто это такие). Там ещё что-то говорилось про физику. Это надо будет потом отдельно посмотреть, уже не сегодня.

Люди, это прочитавшие, прошу не бросаться помидорами!
Я всего лишь переписала то, что написано в учебниках!
Я тут НИЧЕГО НЕ ПРИДУМАЛА, . кроме способа графического нахождения предела частичных сумм некоторых бесконечных рядов, но это так, пустяки, дело житейское.

Арифметические прогрессии

Некоторые особые случаи есть
$1+2+3+cdots+n=left(frac<1><2>
ight)n(n+1)$
$1+3+5+cdots+(2n-1)=n^2$

Геометрические прогрессии

$a+ar+ar^2+ar^3+cdots+ar^n=frac<1-r>=frac<1-r>s$
где $l=ar^$ есть последним членом и $r
eq1$.

Ссылка на основную публикацию
Сообщение на тему жесткий диск по информатике
Информатика Основным устройством хранения информации в компьютерной системе является жесткий диск. Большой объем и энергонезависимость сделали его наиболее пригодным для...
Слова содержащие приставку корень суффикс и окончание
Примеры разборов слов, у которых есть все основные морфемы: приставка, корень, суффикс, окончание. у бор к а у дивл ени...
Словарь для it специалистов
ykaneva 2018-04-09T16:54:33+00:00 September 13th, 2017 | Практика английского | 7 Comments 7 142,973 Сегодня день программиста. По этому поводу в...
Сообщение о выигрыше айфона
Да, почти всегда это обман и развод на деньги. Те, кто проводит ВКонтакте, Инстаграме и других соцсетях «конкурсы», «розыгрыши айфонов»,...
Adblock detector