Решить слау методом простой итерации

Решить слау методом простой итерации

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для решения СЛАУ методом простой итерации в онлайн режиме (см. пример решения). Для проверки решения генерируется шаблон в Excel .

  • Решение онлайн
  • Видеоинструкция

Рассмотрим достаточные условия сходимости итерационной последовательности n>.
Практически, для применения метода итерации систему линейных уравнений удобно "погрузить" в одну из трёх следующих метрик:
(3.4)
Для того, чтобы отображение F, заданное в метрическом пространстве соотношениями (3.2), было сжимающим, достаточно выполнение одного из следующих условий:
а) в пространстве с метрикой ρ1: , т. е. максимальная из сумм модулей коэффициентов в правой части системы (3.2), взятых по строкам, должна быть меньше единицы.
б) в пространстве с метрикой ρ2: , т. е. максимальная из сумм модулей коэффициентов в правой части системы (3.2), взятых по столбцам, должна быть меньше единицы.
в) в пространстве с метрикой ρ3: , т. е. сумма квадратов при неизвестных в правой части системы (3.2) должна быть меньше единицы

Пример . Вычислить два приближения методом простой итерации. Оценить погрешность второго приближения. В качестве начального приближения выбрать x 0 =(0; 0; 0).

Так как диагональные элементы системы являются преобладающими, то приведем систему к нормальному виду:

Последовательные приближения будем искать по формулам:

Получаем:
x 1 =(-1.9022; 0.4889; 2.1456), x 2 =(-1.1720; 0.6315; 1.2389).
Для оценки погрешности в метрике ρ1 вычисляем коэффициент μ
.
Вычисляем погрешность:

При большом числе неизвестных схема метода Гаусса, дающая точное решение, становится весьма сложной. В этом случае для решения СЛАУ иногда удобнее пользоваться методом простой итерации.

Метод итераций для системы уравнений в Excel

Для вычисления точности epsilon .
Итерация №1: =ABS(B7)-ABS(B6);=ABS(C7)-ABS(C6);=ABS(D7)-ABS(D6)
Итерация №2: =ABS(B8)-ABS(B7);=ABS(C8)-ABS(C7);=ABS(D8)-ABS(D7)
Скачать шаблон решения.

Традиционный способ решения СЛАУ

1. Проверьте условие сходимости

2. Приведите систему к нормальному виду, т.е. из первого уравнения выразите x1, из второго x2, из третьего x3.

Читайте также:  Целевые визиты в метрике это

3. Разделите первое уравнение на 200, второе на 400, третье на 600.

4. Выберите начальное приближение

  • 5. Итерационный процесс
  • 1-я итерация

Требуемая точность не достигнута

Требуемая точность достигнута

Решение СЛАУ с помощью MS Excel

  • 1. Переименуйте Лист2 в метод простых итераций.
  • 2. Запишите коэффициенты при неизвестных (а1, а2, а3) и свободные члены bi, т.е. сформируйте матрицу систему.
  • 3. В ячейки G2:G4 введите точное решение уравнений, используя ссылки на ячейки С17:С19 листа Матричный метод.
  • 4. В ячейку E1 введите точность , равной 0,01.

Результаты выполненных действий

5. Проверьте условие сходимости с помощью функции ЕСЛИ

6. Введите в ячейки C19:E19 формулы, вычисляющие начальные приближения к точному значению x1, x2 x3, в ячейки C20:E20 — итерационные формулы, вычисляющие последовательные приближения к точному значению x1, x2, x3.

7. В ячейки G20:I20 введите формулы, вычислите критерии окончания итерационного процесса для x1, x2 и x3.

8. В ячейку K20 введите условие окончания итерационного процесса с помощью функции ЕСЛИ.

9. Копируйте формулы итерационного процесса, критериев и условия окончания итерационного процесса до тех пор, пока критерии 1, 2 и 3 не достигнут значения, меньше заданного (=0,01).

Лекция Итерационные методы решения системы алгебраических линейных уравнений.

Условие сходимости итерационного процесса. Метод Якоби. Метод Зейделя

Метод простой итерации

Рассматривается система линейных алгебраических уравнений

Для применения итерационных методов система должна быть приведена к эквивалентному виду

Затем выбирается начальное приближение к решению системы уравнений и находится последовательность приближений к корню.

Для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы было выполнено условие (норма матрицы). Критерий окончания итераций зависит от применяемого итерационного метода.

Самый простой способ приведения системы к виду, удобному для итерации, состоит в следующем:

Читайте также:  Как распечатать вордовский документ книжкой

Из первого уравнения системы выразим неизвестное x1, из второго уравнения системы выразим x2, и т. д.

В результате получим систему уравнений с матрицей B, в которой на главной диагонали стоят нулевые элементы, а остальные элементы вычисляются по формулам:

Компоненты вектора d вычисляются по формулам:

Расчетная формула метода простой итерации имеет вид:

или в покоординатной форме записи выглядит так:

Критерий окончания итераций в методе Якоби имеет вид:

Если , то можно применять более простой критерий окончания итераций

Пример 1. Решение системы линейных уравнений методом Якоби.

Пусть дана система уравнений:

Требуется найти решение системы с точностью

Приведем систему к виду удобному для итерации:

Выберем начальное приближение, например,

— вектор правой части.

Тогда первая итерация получается так:

Аналогично получаются следующие приближения к решению.

Найдем норму матрицы B.

Будем использовать норму

Так как сумма модулей элементов в каждой строке равна 0.2, то , поэтому критерий окончания итераций в этой задаче

Вычислим нормы разностей векторов:

Так как заданная точность достигнута на четвертой итерации.

Метод можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Основная идея состоит в том, что при вычислении очередного (n+1)-го приближения к неизвестному xi при i >1 используют уже найденные (n+1)-е приближения к неизвестным x1, x2, . xi — 1, а не n-ое приближение, как в методе Якоби.

Расчетная формула метода в покоординатной форме записи выглядит так:

Условия сходимости и критерий окончания итераций можно взять такими же, как в методе Якоби.

Пример 2. Решение систем линейных уравнений методом Зейделя.

Рассмотрим параллельно решение 3-х систем уравнений:

Приведем системы к виду удобному для итераций:

Заметим, что условие сходимости выполнено только для первой системы. Вычислим 3 первых приближения к решению в каждом случае.

Читайте также:  Программы для написания скриптов

Видно, что итерационный процесс расходится.

Видно, что итерационный процесс зациклился.

Пусть матрица системы уравнений A – симметричная и положительно определенная. Тогда при любом выборе начального приближения метод Зейделя сходится. Дополнительных условий на малость нормы некоторой матрицы здесь не накладывается.

Метод простой итерации.

Если A – симметричная и положительно определенная матрица, то систему уравнений часто приводят к эквивалентному виду:

x = x -τ (Ax — b), τ – итерационный параметр.

Расчетная формула метода простой итерации в этом случае имеет вид:

и параметр τ > 0 выбирают так, чтобы по возможности сделать минимальной величину

Пусть λmin и λmax – минимальное и максимальное собственные значения матрицы A. Оптимальным является выбор параметра

В этом случае принимает минимальное значение равное:

Пример 3. Решение систем линейных уравнений методом простой итерации. (в MathCAD)

Пусть дана система уравнений Ax = b

Для построения итерационного процесса найдем собственные числа матрицы A:

— используется встроенная функция для нахождения собственных чисел.

Вычислим итерационный параметр и проверим условие сходимости

— условие сходимости выполнено.

Возьмем начальное приближение — вектор x0, зададим точность 0.001 и найдем начальные приближения по приведенной ниже программе:

Замечание. Если в программе возвращать матрицу rez, то можно просмотреть все найденные итерации.

Ссылка на основную публикацию
Распаковка ядер процессора программа
CPU-Control – программа для распределения и оптимизации нагрузки на ядра процессора. В распределении системных ресурсов не всегда стоит полагаться на...
Процессор intel e5300 pentium dual core
Описание Intel начала продажи Intel Pentium E5300 в ноябре 2008 по рекомендованной цене 64$. Это десктопный процессор на архитектуре Wolfdale,...
Процессор intel pentium e2160 характеристики
Описание Intel начала продажи Intel Pentium Dual-Core E2160 в июне 2007. Это десктопный процессор на архитектуре Allendale, в первую очередь...
Распечатать настольную игру монополия на русском
Настольная игра Монополия своими руками (в картинках), распечатай и играй! Ниже будет представлена версия настольной игры Монополия в картинках, чтобы...
Adblock detector