Распределение шаров по ящикам

Распределение шаров по ящикам

Задача 3. Шесть шаров случайным образом раскладывают в три ящика. Найти вероятность того, что во всех ящиках окажется разное число шаров, при условии, что все ящики не пустые.

Решение: Используем классическое определение вероятности: $P=m/n$, где $m$ — число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а $n$ — число всех равновозможных элементарных исходов.

$m = 6$, так как есть только три случая расположения 6 шаров по 3 ящикам, чтобы во всех ящиках оказалось разное число шаров: (1, 2, 3), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (3, 1, 2).

Всего случаев расположения 6 шаров по 3 ящикам, чтобы ни один ящик не остался пустым равно $$m=C_<6-1>^<3-1>=C_5^2=frac<5!><2!3!>=frac<4 cdot 5><1 cdot 2 >=10.$$

В этом разделе мы рассмотрим три основных типа выборок (комбинаторных конфигураций). Напомним, что выборка характеризуется способом построения некоторой конструкции (набора, совокупности) элементов данного множества (генеральной совокупности). В частности, выборка задается, с одной стороны, алгоритмом ее построения, а с другой – условиями, различающими одну выборку от другой. Например, выбор

элементов выборки может осуществляться последовательно , и порядок следования элементов в выборке считается существенным для различения выборок (даже, если они состоят из одинаковых элементов: например, при определении цифр в номере выигравшего лотерейного билета). С другой стороны, в «спортлото» порядок выпадения номеров шаров по условию не существенен, т.е. в принципе, шары можно было бы выбирать не последовательно, как это делается при розыгрыше, а сразу «комплектом» из 5 (или 6) штук. Результат от этого не изменился бы.

Всюду ниже в этом пункте мы рассматриваем некоторую генеральную совокупность фиксированного объема n и фиксируем объем выборки ( m ≤ n элементов). При этом элементы выборки по условию «извлекаются» из генеральной совокупности без возвращения , т.е. выборка не может содержать одинаковые (повторяющиеся) элементы.

Читайте также:  Приложение для бесплатной проверки авто

Размещением из n элементов по m называется упорядоченная выборка без возвращения объема m из генеральной совокупности, состоящей из n элементов.

Это означает, что соответствующие выборки мы различаем как по элементному составу, так и по порядку следования элементов в выборке. Например, выборки объема 4: (1, 3, 7, 4) и (3, 7, 4, 1) из генеральной совокупности (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) объема 9 мы считаем по условию различными.

Теорема 5.2. Обозначим через P n m число различных размещений из n

элементов по m . Тогда P n m = n ( n − 1)( n − 2). ( n − m + 1) .

Действительно , первый элемент размещения мы можем выбрать n способами, второй – ( n – 1) способом, третий – ( n – 2) способами, и так далее, m -й элемент мы можем выбрать ( n – m + 1) способами. Теперь осталось

применить основное правило комбинаторики. Теорема доказана.

Замечание . Помимо обозначения P n m для числа размещений часто используется обозначение

Перестановкой из n элементов называется упорядоченная выборка без возвращения объема n из генеральной совокупности, состоящей из n элементов.

Из предыдущего пункта очевидно следует

Теорема 5.3 . Число различных перестановок из n элементов равно

n ( n − 1)( n − 2) . 2 1 = n !

Замечание . Для числа перестановок из n элементов чаще всего используется обозначение P n .

Сочетанием из n элементов по m называется неупорядоченная

выборка без возвращения объема m из генеральной совокупности, состоящей из n элементов.

При фиксированном элементном составе размещения из n элементов по m мы имеем m ! различных (различаемых только по порядку следования элементов) выборок. Но поскольку в сочетании порядок элементов несущественен, то становится очевидной

Теорема 5.4. Обозначим через C n m число различных сочетаний из n

Есть задача:
Найти вероятность того, что при размещении r неразличимых шаров по n различимым ящикам, заданный ящик содержит k шаров.

Есть решение:
Для удобства понумеруем R шаов : 1. R. Каждый из них может попасть в любой из N ящиковравновероятно. Поэтому результатом эксперимента по разбросу шаров по ящикам является упорядоченный набор из R чисел A1. AR, причем каждое Ai может иметь значение от 1 до N и означает номер ящика, в который попал i-ый шар. Тогда ясно, что общее число n исходов эксперимента равно N^R (как и писал AlexP).Для расчета числа m благоприятных исходов будем считать, что для определенности расчитывается вероятность,что 1-ый ящик содержит k шаров (для любого другого ответ, очевидно, тот же).В благоприятных исходах эксперимента среди чисел A1. AR в точности на K местах стоят единицы, а на остальных — другие числа. Число различных вариантов выбрать K мест изR для размещения в них единиц можно C(R,K) способами. При каждом таком размещении можно в каждом из остальных (R-K) местах размещать числа 2. N и сделать это можно (N-1)^(R-K)способами. Поэтому m= C(R,K)* (N-1)^(R-K).Тогда ответ
Р=m/n=C(R,K)* (N-1)^(R-K)/N^R

Читайте также:  Материнка с сокетом am4

но нет уверенности что решено верно. подскажите?

Это другая модель
Автор: Natalia Chernova (---.ras.nsu.ru)
Дата: 10 Jun. 2006 17:44

В условиях, когда шары неразличимы, число равновозможных исходов не равно N^R. Здесь равновозможными будут все размещения, отличающиеся друг от друга числом шаров в хотя бы одном ящике. Действительно: при двух шарах и двух ящиках равновозможными будут три исхода:
(шаров в первом | шаров во втором)
2 | 0
0 | 2
1 | 1.
Тогда как, различая шары, получаем 4 равновозможных исхода:
(номера шаров в первом | номера шаров во втором)
1-й, 2-й | 0
0 | 1-й, 2-й
1-й | 2-й
2-й | 1-й
Видно, что от второй схемы, если мы для удобства начнём шары различать, к первой перейти нельзя: из 4 исходов 3 получить не получится.

При размещении R неразличимых шаров по N различимым ящикам равновозможных исходов ровно C_^R. После чего положите K шаров в нужный ящик, а остальные снова рассыпьте С_^ способами по оставшимся ящикам.

Re: Это другая модель
Автор: Prolog (85.114.169.---)
Дата: 10 Jun. 2006 19:23

что означает пробел в записи "С_" ?

Re: Это другая модель
Автор: E.V.E (---.211.ru)
Дата: 10 Jun. 2006 20:23

C_n^k = С k n = "Ц из n по k"

Ссылка на основную публикацию
Распаковка ядер процессора программа
CPU-Control – программа для распределения и оптимизации нагрузки на ядра процессора. В распределении системных ресурсов не всегда стоит полагаться на...
Процессор intel e5300 pentium dual core
Описание Intel начала продажи Intel Pentium E5300 в ноябре 2008 по рекомендованной цене 64$. Это десктопный процессор на архитектуре Wolfdale,...
Процессор intel pentium e2160 характеристики
Описание Intel начала продажи Intel Pentium Dual-Core E2160 в июне 2007. Это десктопный процессор на архитектуре Allendale, в первую очередь...
Распечатать настольную игру монополия на русском
Настольная игра Монополия своими руками (в картинках), распечатай и играй! Ниже будет представлена версия настольной игры Монополия в картинках, чтобы...
Adblock detector