Производная x lnx равна

Производная x lnx равна

Вычисляет производную заданной функции.

Данный калькулятор вычисляет производную функции и затем упрощает ее.
В поле функция введите математическое выражение с переменной x, в выражении используйте стандартные операции + сложение, вычитание, / деление, * умножение, ^ — возведение в степень, а также математические функции. Полный синтаксис смотрите ниже.
Упрощение полученной производной может занять некоторое время, для сложных функций — весьма продолжительное. Если ждать до конца нет сил — нажмите кнопку остановить. У меня получался достаточно простой вариант уже после 10-15 секунд работы алгоритма упрощения.

Калькулятор производных

Производная функции

Синтаксис описания формул

В описании функции допускается использование одной переменной (обозначается как x), скобок, числа пи (pi), экспоненты (e), математических операций: + — сложение, — вычитание, * — умножение, / — деление, ^ — возведение в степень.
Допускаются также следующие функции: sqrt — квадратный корень, exp — e в указанной степени, lb — логарифм по основанию 2, lg — логарифм по основанию 10, ln — натуральный логарифм (по основанию e), sin — синус, cos — косинус, tg — тангенс, ctg — котангенс, sec — секанс, cosec — косеканс, arcsin — арксинус, arccos — арккосинус, arctg — арктангенс, arcctg — арккотангенс, arcsec — арксеканс, arccosec — арккосеканс, versin — версинус, vercos — коверсинус, haversin — гаверсинус, exsec— экссеканс, excsc — экскосеканс, sh — гиперболический синус, ch — гиперболический косинус, th — гиперболический тангенс, cth — гиперболический котангенс, sech — гиперболический секанс, csch — гиперболический косеканс, abs — абсолютное значение (модуль), sgn — сигнум (знак), logP — логарифм по основанию P, например log7(x) — логарифм по основанию 7, rootP — корень степени P, например root3(x) — кубический корень.

Вывод формул производных натурального логарифма и логарифма по основанию a

Производная натурального логарифма от x равна единице, деленной на x:
(1) ( ln x )′ = .

Производная логарифма по основанию a равна единице, деленной на переменную x, умноженную на натуральный логарифм от a :
(2) ( log a x )′ = .

Далее мы приводим вывод этих формул.

Доказательство

Пусть есть некоторое положительное число, не равное единице. Рассмотрим функцию, зависящую от переменной x , которая является логарифмом по основанию :
.
Эта функция определена при . Найдем ее производную по переменной x . По определению, производная является следующим пределом:
(3) .

Читайте также:  Api ключ яндекс перевод

Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать следующие факты:
А) Свойства логарифма. Нам понадобятся следующие формулы:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
Б) Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
(7) .
Здесь – некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.
В) Значение второго замечательного предела:
(8) .

Применяем эти факты к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим свойства (4) и (5).

.

Далее сделаем подстановку . При , . Тогда

.

Воспользуемся свойством (7) и вторым замечательным пределом (8):
.

И, наконец, применим свойство (6):
.
Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом. Он обозначается так:
.
Тогда ;
.

Тем самым мы получили формулу (2) производной логарифма.

Производная натурального логарифма

Еще раз выпишем формулу производной логарифма по основанию a :
.
Эта формула имеет наиболее простой вид для натурального логарифма, для которого , . Тогда
(1) .

Из-за такой простоты, натуральный логарифм очень широко используется в математическом анализе и в других разделах математики, связанных с дифференциальным исчислением. Логарифмические функции с другими основаниями можно выразить через натуральный логарифм, используя свойство (6):
.

Производную логарифма по основанию можно найти из формулы (1), если вынести постоянную за знак дифференцирования:
.

Другие способы доказательство производной логарифма

Здесь мы предполагаем, что нам известна формула производной экспоненты:
(9) .
Тогда мы можем вывести формулу производной натурального логарифма, учитывая, что логарифм является обратной функцией к экспоненте.

Докажем формулу производной натурального логарифма, применив формулу производной обратной функции:
.
В нашем случае . Обратной функцией к натуральному логарифму является экспонента:
.
Ее производная определяется по формуле (9). Переменные можно обозначить любой буквой. В формуле (9), заменим переменную x на y:
.
Поскольку , то
.
Тогда
.
Формула доказана.

Теперь докажем формулу производной натурального логарифма с помощью правила дифференцирования сложной функции. Поскольку функции и являются обратными друг к другу, то
.
Дифференцируем это уравнение по переменной x :
(10) .
Производная от икса равна единице:
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции:
.
Здесь . Подставим в (10):
.
Отсюда
.

Пример

Найти производные от ln 2x, ln 3x и ln nx.

Читайте также:  Как сделать мокап самому

Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = ln nx . Затем подставим n = 2 и n = 3 . И, тем самым, получим формулы для производных от ln 2x и ln 3x .

Итак, ищем производную от функции
y = ln nx .
Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1) Функции , зависящей от переменной : ;
2) Функции , зависящей от переменной : .
Тогда исходная функция составлена из функций и :
.

Найдем производную от функции по переменной x:
.
Найдем производную от функции по переменной :
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Здесь мы подставили .

Итак, мы нашли:
(11) .
Мы видим, что производная не зависит от n . Этот результат вполне естественен, если преобразовать исходную функцию, применяя формулу логарифма от произведения:
.
– это постоянная. Ее производная равна нулю. Тогда по правилу дифференцирования суммы имеем:
.

Производная логарифма модуля x

Найдем производную от еще одной очень важной функции – натурального логарифма от модуля x :
(12) .

Рассмотрим случай . Тогда и функция имеет вид:
.
Ее производная определяется по формуле (1):
.

Теперь рассмотрим случай . Тогда и функция имеет вид:
,
где .
Но производную этой функции мы также нашли в приведенном выше примере. Она не зависит от n и равна
.
Тогда
.

Объединяем эти два случая в одну формулу:
.

Соответственно, для логарифма по основанию a , имеем:
.

Производные высших порядков натурального логарифма

Рассмотрим функцию
.
Мы нашли ее производную первого порядка:
(13) .

Найдем производную второго порядка:
.
Найдем производную третьего порядка:
.
Найдем производную четвертого порядка:
.

Можно заметить, что производная n-го порядка имеет вид:
(14) .
Докажем это методом математической индукции.

Доказательство

Подставим в формулу (14) значение n = 1:
.
Поскольку , то при n = 1 , формула (14) справедлива.

Предположим, что формула (14) выполняется при n = k . Докажем, что из этого следует, что формула справедлива при n = k + 1 .

Действительно, при n = k имеем:
.
Дифференцируем по переменной x :

.
Итак, мы получили:
.
Эта формула совпадает с формулой (14) при n = k + 1 . Таким образом, из предположения, что формула (14) справедлива при n = k следует, что формула (14) справедлива при n = k + 1 .

Поэтому формула (14), для производной n-го порядка, справедлива для любых n .

Производные высших порядков логарифма по основанию a

Чтобы найти производную n-го порядка от логарифма по основанию a , нужно выразить его через натуральный логарифм:
.
Применяя формулу (14), находим n-ю производную:
.

Читайте также:  Как отрезать стеклянную трубку

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 19-03-2017

Говорят, что функция y = f(x) неявно задана уравнением F(x,y) =0, если для всех

X из области определения функции F(x, f(x)) = 0. ( 3 )

Для вычисления производной функции y=f(x) следует продифференцировать тождество (3) по X,рассматривая при этом левую часть как сложную функцию по параметру X. Затем следует полученное уравнение разрешить относительно y´.

Пример: ln(x+y) = x∙y

ln(x+y) – x∙y = 0 – неявно заданная функция

ln(x + y(x)) – x∙y(x) = 0 – дифференцируем сложные функции по аргументу X.

(1+y´)/(x+y) – (1∙y + x∙y´) = 0 — приводим выражение к общему знаменателю и приравниваем числитель полученной дроби нулю.

1 + y´ — (x + y) ∙(y +x∙y´) =0 – выделяем коэффициент при y´

y´∙ (1-x²-x∙y) = x∙y + y² — 1, в результате получим: y´ = (x∙y+y²-1)/(1-x²-x∙y).

Пример: найти производную y´, если 2y∙lny = x

2∙y(x)∙lny(x) – x = 0 — неявно заданная функция. Дифференцируем правую и левую часть тождества по параметру X.

2y´∙lny + 2y∙(1/y)∙y´ — 1 = 0 — выделяем коэффициент при y´

y´∙(2∙lny + 2) = 1, следовательно y´= 1/(2∙lny+2)

Логарифмическое дифференцирование.

Если необходимо продифференцировать функцию, состоящую из большого количества сомножителей, то предварительное логарифмирование функции намного упрощает вычисление производной. Логарифмической производной функции y=f(x) называется производная от натурального логарифма этой функции, т.е. (lny)´ = y´/y. Из этого соотношения легко найти производную y´ = y(x)∙(lny)´.

Пример: y = (x+1)¼ ∙(x-1)‾⅔ ∙x‾³ — логарифмируем функцию

lny= (1/4) ∙ ln(x+1) – (2/3) ∙ ln(x-1) – 3∙lnx — следующий этап дифференцирование

y´/y = 1/(4∙(x+1)) – 2/(3∙(x-1)) – 3/x — и окончательный ответ

Пример: y = (x-3)²∙(2x-1)/(x+1)³ — первый этап логарифмирование

lny= 2∙ln(x-3) + ln(2x-1) – 3∙ln(x+1) — далее дифференцируем

y´/y = 2/(x-3) + 2/(2x-1) – 3/(x+1) — и окончательный ответ

Производные от сложно-показательных функций находятся только с помощью логарифмического дифференцирования.

Пример: y(x) = — первый этап логарифмирование

lny = x∙ln(lnx) – второй этап дифференцирование произведения функций, причем вторая функция является сложной

y´/y = 1∙ln(lnx) + x ∙ (1/lnx) ∙ (1/x) — и окончательный ответ

y´ = y(x) ∙ [ln(lnx) + (1/x)]

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома — страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 9264 — | 7451 — или читать все.

Ссылка на основную публикацию
Программы для управления звуком на компьютере
Программа Hear предназначена для повышения качества звука в музыке и фильмах практически во всех приложениях. Благодаря большому количеству настроек, она...
Программа для просмотра записей с видеорегистратора
Основная задача программы MDVR Player заключается в том, чтобы пользователи могли просматривать видео с регистраторов. Интерфейс утилиты полностью на русском...
Программа для просмотра музыки вк у друга
Многих пользователей интересует, как посмотреть скрытые аудиозаписи ВКонтакте у друга, ведь сам факт, что он их спрятал, только стимулирует любопытство....
Программы для управления финансами
Вести учет финансов стало невероятно просто! Продуманный интерфейс, простота использования и наглядность результатов делают эту программу для учета личных финансов...
Adblock detector