Перейдем к модификациям метода прямоугольников.
— это формула метода левых прямоугольников.
— это формула метода правых прямоугольников.
Отличие от метода средних прямоугольников заключается в выборе точек не в середине, а на левой и правой границах элементарных отрезков соответственно.
Абсолютная погрешность методов левых и правых прямоугольников оценивается как .
| 234567891011121314151617 | Program pravii; <Метод правых прямоугольников>uses crt;var i,n:integer; a,b,h,x,xb,s:real;function f(x:real):real;begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end;beginclrscr;write(‘Введите нижний предел интегрирования ‘); readln(a);write(‘Введите верхний предел интегрирования ‘); readln(b);write(‘Введите количество отрезков ‘); readln(n);h:=(b-a)/n; s:=0; xb:=a;for i:=1 to n dobegin x:=xb+i*h; s:=s+f(x)*h; end; writeln(‘Интеграл равен ‘,s:12:10); readln; |
Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле правых прямоугольников в Excel, необходимо выполнить следующие действия:
1. Продолжить работу в том же документе, что и при вычислении интеграла по формуле левых прямоугольников.
2. В ячейку D6 ввести текст y1,…,yn.
3. Ввести в ячейку D8 формулу =КОРЕНЬ(B8^4-B8^3+8), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек D9:D17
4. Ввести в ячейку D18 формулу =СУММ(D7:D17).
5. Ввести в ячейку D19 формулу =B4*D18.
6. Ввести в ячейку D20 текст правых.
В итоге получаем следующее:
Ответ: значение заданного интеграла равно 14,45905.
Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле правых прямоугольников в Mathcad, необходимо выполнить следующие действия:
1. Ввести в поле ввода в одной строчке через какое-либо расстояние следующие выражения: a:=0, b:=3.2, n:=10.
2. В следующей строчке ввести формулу с клавиатуры h:=(b-a)/n (обратить внимание на то, что в поле ввода данное выражение сразу преобразуется к стандартному виду).
3. Рядом вывести значение данного выражения, для этого набрать с клавиатуры: h=.
4. Ниже ввести формулу для вычисления подинтегральной функции, для этого с клавиатуры набрать f(x):=, затем открыть панель инструментов "Арифметика", либо воспользовавшись значком , либо следующим способом:
После этого, на панели инструментов "Арифметика" выбрать "Квадратный корень": , затем в появившемся темном квадрате ввести выражение с клавиатуры x^4-x^3+8, перемещение курсора осуществляется стрелками на клавиатуре (обратить внимание на то, что в поле ввода данное выражение сразу преобразуется к стандартному виду).
5. Ниже ввести выражение I1:=0.
6. Ниже ввести выражение pr_p(a,b,n,h,I1):=.
7. Затем выбрать панель инструментов "Программирование" (либо: "Вид"-"Панели инструментов"-"Программирование", либо: значок ).
8. На панели инструментов "Программирование" добавить строку программы: , затем поставить курсор в первый темный прямоугольник и на панели инструментов "Программирование" выбрать "for".
9. В полученной строке, после слова for, встать курсором в первый из прямоугольников и набрать i.
10. Затем выбрать панель инструментов "Матрицы" (либо: "Вид"-"Панели инструментов"-"Матрицы", либо: значок ).
11. Поставить курсор в следующий темный прямоугольник и на панели инструментов "Матрицы" нажать: , где набрать в двух появившихся прямоугольниках соответственно: 1 и n.
12. Поставить курсор в нижестоящий темный прямоугольник и дважды добавить строку программы.
13. После этого вернуть курсор в первый из появившихся прямоугольников и набрать x1, затем нажать "Локальное присвоение" на панели "Программирование": и после этого набрать a+h.
14. Поставить курсор в следующий темный прямоугольник, где набрать I1 присвоить (кнопка "Локальное присвоение") I1+f(x1).
15. Поставить курсор в следующий темный прямоугольник, где набрать a присвоить (кнопка "Локальное присвоение") x1.
16. В следующем темном прямоугольнике добавить строку программы, где в первом из полученных прямоугольников набрать I1 присвоить (кнопка "Локальное присвоение") I1*h (обратить внимание, что знак умножения в поле ввода автоматически превращается в стандартный).
17. В последнем темном прямоугольнике набрать I1.
18. Ниже ввести pr_p(a,b,n,h,I1) и нажать знак =.
19. Для того, чтобы отформатировать ответ, нужно дважды щелкнуть по полученному числу и указать число десятичный мест — 5.
В итоге получаем:
Ответ: значение заданного интеграла равно 14,45905.
Метод прямоугольников безусловно очень удобен при вычислении определенного интеграла. Работа была очень увлекательна и познавательна.
Существует несколько видов формул прямоугольников:
"Формула левых прямоугольников.
В общем виде формула левых прямоугольниковна отрезке[x;xn]выглядит следующим образом(21):
В данной формуле x=a, xn=b, так как любой интеграл в общем виде выглядит: (см. формулу18).
h можно вычислить по формуле 19.
Формула правых прямоугольников.
В общем виде формула правых прямоугольниковна отрезке[x;xn]выглядит следующим образом(22):
h можно вычислить по той же формуле, что и в формуле для левых прямоугольников.
Формула средних прямоугольников.
В общем виде формула средних прямоугольниковна отрезке[x;xn]выглядит следующим образом(23):
В данной формуле, как и в предыдущих, требуется h умножать сумму значений функции f(x), но уже не просто подставляя соответствующие значения x,x1. xn-1в функцию f(x), а прибавляя к каждому из этих значенийh/2(x+h/2, x1+h/2. xn-1+h/2), а затем только подставляя их в заданную функцию.
h можно вычислить по той же формуле, что и в формуле для левых прямоугольников." [6]
На практике данные способы реализуются следующим образом:
a) Вычислить интеграл
по формуле левых прямоугольников при n=10, используя:
b) Вычислить интеграл
по формуле правых прямоугольников при n=10, используя:
c) Вычислить интеграл
по формуле средних прямоугольников при n=10, используя:
Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле средних прямоугольников в Excel, необходимо выполнить следующие действия:
Продолжить работу в том же документе, что и при вычислении интеграла по формулам левых и правых прямоугольников.
В ячейку E6 ввести текст xi+h/2, а в F6 — f(xi+h/2).
Ввести в ячейку E7 формулу =B7+$B$4/2, скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек E8:E16
Ввести в ячейку F7 формулу =КОРЕНЬ(E7^4-E7^3+8), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек F8:F16
Ввести в ячейку F18 формулу =СУММ(F7:F16).
Ввести в ячейку F19 формулу =B4*F18.
Ввести в ячейку F20 текст средних.
В итоге получаем следующее:
Ответ: значение заданного интеграла равно 13,40797.
Исходя из полученных результатов, можно сделать вывод, что формула средних прямоугольников является наиболее точной, чем формулы правых и левых прямоугольников.
1. Метод Монте-Карло
"Основная идея метода Монте-Карло заключается в многократном повторении случайных испытаний. Характерной особенностью метода Монте-Карло является использование случайных чисел (числовых значений некоторой случайной величины). Такие числа можно получать с помощью датчиков случайных чисел. Например, в языке программирования Turbo Pascal имеется стандартная функция random , значениями которой являются случайные чис¬ла, равномерно распределенные на отрезке [0; 1]. Сказанное означает, что если разбить указанный отрезок на некоторое число равных интервалов и вычислить значение функции random большое число раз, то в каждый интервал попадет приблизительно одинаковое количество случайных чисел. В языке программирования basin подобным датчиком является функция rnd. В табличном процессоре MS Excel функция СЛЧИС возвращает равномерно распределенное случайное число большее или равное 0 и меньшее 1 (изменяется при пересчете)" [7].
Для того чтобы его вычислить, необходимо воспользоваться формулой ():
, где (i=1, 2, …, n) – случайные числа, лежащие в интервале [a;b].
Для получения таких чисел на основе последовательности случайных чисел xi , равномерно распределенных в интервале [0;1], достаточно выполнить преобразование xi=a+(b-a)xi.
На практике данный способ реализуется следующим образом:
по формуле трапеций при n=10, используя:
Для того, чтобы вычислить интеграл методом Монте-Карло в Excel, необходимо выполнить следующие действия:
В ячейку B1 ввести текст n=.
В ячейку B2 ввести текст a=.
В ячейку B3 ввести текст b=.
В ячейку C1 ввести число 10.
В ячейку C2 ввести число 0.
В ячейку C3 ввести число 3,2.
В ячейку A5 ввести I, в В5 – xi, в C5 – f(xi).
Ячейки A6:A15 заполнить числами 1,2,3, …,10 – так как n=10.
Ввести в ячейку B6 формулу =СЛЧИС()*3,2 (происходит генерация чисел в диапазоне от 0 до 3,2), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек В7:В15.
Ввести в ячейку C6 формулу =КОРЕНЬ(B6^4-B6^3+8), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек C7:C15.
Ввести в ячейку B16 текст «сумма», в B17 – «(b-a)/n», в B18 – «I=».
Вести в ячейку C16 формулу =СУММ(C6:C15).
Вести в ячейку C17 формулу =(C3-C2)/C1.
Вести в ячейку C18 формулу =C16*C17.
В итоге получаем:
Ответ: значение заданного интеграла равно 13,12416.
Метод прямоугольников – это, пожалуй, самый простой метод приближённого вычисления определённого интеграла. И парадокс состоит в том, что по этой причине (видимо) он довольно редко встречается на практике. Неудивительно, что данная статья появилась на свет через несколько лет после того, как я рассказал о более распространённых методах трапеции и Симпсона, где упомянул о прямоугольниках лишь вскользь. Однако на сегодняшний день раздел об интегралах практически завершён и поэтому настало время закрыть этот маленький пробел. Читаем, вникаем и смотрим видео! ….о чём? Об интегралах, конечно =)
Постановка задачи уже была озвучена на указанном выше уроке, и сейчас мы быстренько актуализируем материал:
Рассмотрим интеграл . Он неберущийся. Но с другой стороны, подынтегральная функция непрерывна на отрезке , а значит, конечная площадь существует. Как её вычислить? Приближённо. И сегодня, как вы догадываетесь – методом прямоугольников.
Разбиваем промежуток интегрирования на 5, 10, 20 или бОльшее количество равных (хотя это не обязательно) отрезков, чем больше – тем точнее будет приближение. На каждом отрезке строим прямоугольник, одна из сторон которого лежит на оси , а противоположная – пересекает график подынтегральной функции. Вычисляем площадь полученной ступенчатой фигуры, которая и будет приближённой оценкой площади криволинейной трапеции (заштрихована на 1-м рисунке).
Очевидно, что прямоугольники можно построить многими способами, но стандартно рассматривают 3 модификации:
1) метод левых прямоугольников;
2) метод правых прямоугольников;
3) метод средних прямоугольников.
Оформим дальнейшие выкладки в рамках «полноценного» задания:
Вычислить определённый интеграл приближённо:
а) методом левых прямоугольников;
б) методом правых прямоугольников.
Промежуток интегрирования разделить на равных отрезков, результаты вычислений округлять до 0,001
Решение: признАюсь сразу, я специально выбрал такое малое значение – из тех соображений, чтобы всё было видно на чертеже – за что пришлось поплатиться точностью приближений.
Вычислим шаг разбиения (длину каждого промежуточного отрезка):
Метод левых прямоугольников получил своё называние из-за того,
что высОты прямоугольников на промежуточных отрезках равны значениям функции в левых концах данных отрезков:
Ни в коем случае не забываем, что округление следует проводить до трёх знаков после запятой – это существенное требование условия, и «самодеятельность» здесь чревата пометкой «оформите задачу, как следует».
Вычислим площадь ступенчатой фигуры, которая равна сумме площадей прямоугольников:
Таким образом, площадь криволинейной трапеции: . Да, приближение чудовищно грубое (завышение хорошо видно на чертеже), но и пример, повторюсь, демонстрационный. Совершенно понятно, что, рассмотрев бОльшее количество промежуточных отрезков (измельчив разбиение), ступенчатая фигура будет гораздо больше похожа на криволинейную трапецию, и мы получим лучший результат.
При использовании «правого» метода высОты прямоугольников равны значениям функции в правых концах промежуточных отрезков:
Вычислим недостающее значение и площадь ступенчатой фигуры:
– тут, что и следовало ожидать, приближение сильно занижено:
Запишем формулы в общем виде. Если функция непрерывна на отрезке , и он разбит на равных частей: , то определённый интеграл можно вычислить приближенно по формулам:
– левых прямоугольников;
– правых прямоугольников;
(формула в следующей задаче) – средних прямоугольников,
где – шаг разбиения.
В чём их формальное различие? В первой формуле нет слагаемого , а во второй —
На практике рассчитываемые значения удобно заносить в таблицу:
а сами вычисления проводить в Экселе. И быстро, и без ошибок:
Ответ:
Наверное, вы уже поняли, в чём состоит метод средних прямоугольников:
Вычислить приближенно определенный интеграл методом прямоугольников с точностью до 0,01. Разбиение промежутка интегрирования начать с отрезков.
Решение: во-первых, обращаем внимание, что интеграл нужно вычислить с точностью до 0,01. Что подразумевает такая формулировка?
Если в предыдущей задаче требовалось прОсто округлить результаты до 3 знаков после запятой (а уж насколько они будут правдивы – не важно), то здесь найденное приближённое значение площади должно отличаться от истины не более чем на .
И во-вторых, в условии задачи не сказано, какую модификацию метода прямоугольников использовать для решения. И действительно, какую?
По умолчанию всегда используйте метод средних прямоугольников
Почему? А он при прочих равных условиях (том же самом разбиении) даёт гораздо более точное приближение. Это строго обосновано в теории, и это очень хорошо видно на чертеже:
В качестве высот прямоугольников здесь принимаются значения функции, вычисленные в серединах промежуточных отрезков, и в общем виде формула приближённых вычислений запишется следующим образом:
, где – шаг стандартного «равноотрезочного» разбиения .
Следует отметить, что формулу средних прямоугольников можно записать несколькими способами, но чтобы не разводить путаницу, я остановлюсь на единственном варианте, который вы видите выше.
Вычисления, как и в предыдущем примере, удобно свести в таблицу. Длина промежуточных отрезков, понятно, та же самая: – и очевидно, что расстояние между серединами отрезков равно этому же числу. Поскольку требуемая точность вычислений составляет , то значения нужно округлять «с запасом» – 4-5 знаками после запятой:
Вычислим площадь ступенчатой фигуры:
Давайте посмотрим, как автоматизировать этот процесс:
Таким образом, по формуле средних прямоугольников:
Как оценить точность приближения? Иными словами, насколько далёк результат от истины (площади криволинейно трапеции)? Для оценки погрешности существует специальная формула, однако, на практике её применение зачастую затруднено, и поэтому мы будем использовать «прикладной» способ:
Вычислим более точное приближение – с удвоенным количеством отрезков разбиения: . Алгоритм решения точно такой же: .
Найдём середину первого промежуточного отрезка и далее приплюсовываем к полученному значению по 0,3. Таблицу можно оформить «эконом-классом», но комментарий о том, что изменяется от 0 до 10 – всё же лучше не пропускать:
В Экселе вычисления проводятся «в один ряд» (кстати, потренируйтесь), а вот в тетради таблицу, скорее всего, придётся сделать двухэтажной (если у вас, конечно, не сверхмелкий почерк).
Вычислим суммарную площадь десяти прямоугольников:
Таким образом, более точное приближение:
Теперь находим модуль разности между двумя приближениями:
Как я уже отмечал в статье Приближённое вычисление определенных интегралов, на практике довольно часто встречается упрощённый подход: поскольку разность больше требуемой точности , то снова удваиваем количество отрезков, находим и разность , которая, очевидно, уже «уложится» в нашу точность: .
Однако существует более эффективный путь решения, основанный на применении правила Рунге, которое утверждает, что при использовании метода средних прямоугольников мы ошибаемся в оценке определённого интеграла менее чем на (! для методов правых и левых прямоугольников правило использовать нельзя!).
В нашем случае: , то есть требуемая точность на самом деле достигнута, и необходимость в вычислении отпадает.
Округляем наиболее точное приближение до двух знаков после запятой и записываем ответ: с точностью до 0,01
Ещё раз – что это значит? Это значит, что площадь криволинейной трапеции гарантированно отличается от найденного приближённого значения 2,59 не более чем на 0,01.
В Примере 2 урока метод трапеций и метод Симпсона я вычислил приближённое значение этого же интеграла методом трапеций. Любознательные читатели могут сравнить полученные здесь и там результаты.
Вернемся ещё к одному маленькому нюансу, который выпал из поля зрения в самом начале урока: обязательно ли в рассматриваемом задании интеграл должен быть неберущимся? Конечно, нет. Приближённые методы вычисления прекрасно работают и для берущихся определённых интегралов. Заключительный школьный, а точнее, техникумовский пример для самостоятельного решения:
Вычислить интеграл приближённо на отрезках разбиения:
1) методом левых прямоугольников;
2) методом правых прямоугольников;
3) методом средних прямоугольников.
Вычислить более точное значение интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Для каждого из трёх случаев найти абсолютную погрешность. Вычисления округлять до 4 знаков после запятой.
Не нужно пугаться такого развёрнутого условия – всё элементарно «перещёлкивается» в Экселе. Напоминаю, что абсолютная погрешность – это модуль разности между точным и приближённым значением. Кстати, обратите внимание на принципиальную разницу: если в предыдущих примерах речь шла лишь об оценке погрешности, то здесь нам будут известны конкретные значения этих погрешностей (т.к. интеграл берётся, и мы достоверно знаем 4 верных цифры после запятой).
Краткое решение и ответ уже, наверное, показались на вашем экране.
И, завершая эту небольшую статьи, хочу отметить, что иногда метод прямоугольников ошибочно называют «плохим», «неточным» и т.п. Ничего подобного! Если уж на то пошло, его корректнее назвать «медленным» методом. Иными словами, чтобы достигнуть определённой точности – нужно рассмотреть бОльшее количество отрезков разбиения по сравнению с более эффективными методом трапеций и ещё более «быстрым» методом Симпсона.
Которые я и предлагаю вам изучить!
Пример 3: Решение: вычислим шаг разбиения:
Заполним расчётную таблицу:
Вычислим интеграл приближённо методом:
1) левых прямоугольников:
;
2) правых прямоугольников:
;
3) средних прямоугольников:
.
Вычислим интеграл более точно по формуле Ньютона-Лейбница:
и соответствующие абсолютные погрешности вычислений:
Ответ:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Профессиональная помощь по любому предмету – Zaochnik.com
