Как найти сумму ряда фурье

Как найти сумму ряда фурье

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Понятие ряда Фурье

Тригонометрическим рядом Фурье называется ряд вида

где числа a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , . a n , b n , . — коэффициенты Фурье.

Более сжатая запись ряда Фурье с символом "сигма":

.

Как мы только что установили, в отличие от степенного ряда, в ряде Фурье вместо простейших функций взяты тригонометрические функции

Коэффициенты Фурье вычисляются по следующим формулам:

,

,

.

Все вышеперечисленные функции в ряде Фурье являются периодическими функциями с периодом 2π . Каждый член тригонометрического ряда Фурье является периодической функцией с периодом 2π .

Поэтому и любая частичная сумма ряда Фурье имеет период 2π . Отсюда следует, что если ряд Фурье сходится на отрезке [-π, π] , то он сходится на всей числовой прямой и его сумма, будучи пределом последовательности периодических частичных сумм, является периодической функцией с периодом 2π .

Вышеупомянутое свойство видно на графике внизу: здесь график суммы ряда для функции f(x) = x . Вне отрезка [-π, π] сумма ряда является периодическим продолжением данной функции: график функции бесконечно повторяется справа и слева.

Сходимость ряда Фурье и сумма ряда

Пусть функция F(x) , определённая на всей числовой прямой и периодическая с периодом 2π , является периодическим продолжением функции f(x) , если на отрезке [-π, π] имеет место F(x) = f(x)

Если на отрезке [-π, π] ряд Фурье сходится к функции f(x) , то он сходится на всей числовой прямой к её периодическому продолжению.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях ряд Фурье функции f(x) сходится к этой функции, даёт следующая теорема.

Теорема. Пусть функция f(x) и её производная f ‘ (x) — непрерывные на отрезке [-π, π] или же имеют на нём конечное число точек разрыва 1-го рода. Тогда ряд Фурье функции f(x) сходится на всей числовой прямой, причём в каждой точке x , принадлежащей отрезку [-π, π] , в которой f(x) непрерывна, сумма ряда равна f(x) , а в каждой точке x 0 разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции f(x) справа и слева:

,

где и .

На концах отрезка [-π, π] сумма ряда равна среднему арифметическому значений функции в крайней левой и крайней правой точках периода разложения:

.

В любой точке x , принадлежащей отрезку [-π, π] , сумма ряда Фурье равна F(x) , если x — точка непрерывности F(x) , и равна среднему арифметическому пределов F(x) слева и справа:

,

Пример 1. Периодическая функция f(x) с периодом 2π определена следующим образом:

Проще эта функция записывается как f(x) = |x| . Разложить функцию в ряд Фурье, определить сходимость ряда и сумму ряда.

Решение. Определим коэффициенты Фурье этой функции:

Теперь у нас есть всё, чтобы получить ряд Фурье данной функции:

Этот ряд сходится во всех точках, и его сумма равна данной функции.

Читайте также:  Как подключить ipv6 на мтс

Решить задачу на ряды Фурье самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. Дана периодическая функция с периодом 2π :

Определить коэффициенты Фурье.

Ряды Фурье для чётных и нечётных функций

Пусть функция f(x) определена на отрезке [-π, π] и является чётной, т. е. f(- x) = f(x) . Тогда её коэффициенты b n равны нулю. А для коэффициентов a n верны следующие формулы:

,

.

Пусть теперь функция f(x) , определённая на отрезке [-π, π] , нечётная, т.е. f(x) = — f( — x) . Тогда коэффициенты Фурье a n равны нулю, а коэффициенты b n определяется формулой

.

Как видно из формул, выведенных выше, если функция f(x) чётная, то ряд Фурье содержит только косинусы, а если нечётная, то только синусы.

Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. Это нечётная функция, поэтому её коэффициенты Фурье , а чтобы найти , нужно вычислить определённый интеграл:

Получаем ряд Фурье данной функции:

.

Это равенство справедливо для любого . В точках сумма ряда Фурье по приведённой во втором параграфе теореме не совпадает со значениями функции , а равна . Вне отрезка сумма ряда является периодическим продолжением функции , её график приводился выше в качестве иллюстрации суммы ряда.

Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. Это чётная функция, поэтому её коэффициенты Фурье , а чтобы найти , нужно вычислить определённые интегралы:

Получаем ряд Фурье данной функции:

.

Это равенство справедливо для любого , так как в точках сумма ряда Фурье в данном случае совпадает со значениями функции , поскольку .

Ряды Фурье с периодом 2l

Пусть функция f(x) определена на отрезке [— l, l] ( l — произвольное положительное число). Тогда формула ряда Фурье этой функции принимает вид

,

где коэффициенты Фурье определяются по следующим формулам:

,

,

.

Пример 5. Разложить в ряд Фурье с периодом 2l функцию f(x) , которая на отрезке [— l, l] задаётся формулой .

Решение. Это чётная функция, поэтому её коэффициент Фурье , а чтобы найти , нужно вычислить определённые интегралы:

Ряд Фурье данной функции:

.

Это равенство справедливо для любого , а это значит, что ряд сходится на всей числовой прямой.

Решить задачу на ряды Фурье самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Разложить в ряд Фурье с периодом 4 периодическую функцию , .

Трудности с задачами? МатБюро поможет вам: контрольные работы по рядам.

Решения рядов Фурье онлайн

Задача 1. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию $y=x^2$ на отрезке $[0;1]$.

Задача 2. Разложить в ряд Фурье по косинусам или по синусам функцию $y=f(x)$, определенную на заданном интервале с помощью графика или в явном виде. Построить график суммы полученного ряда Фурье и записать четыре первых ненулевых члена этого ряда.

Задача 4. Представить интегралом Фурье функцию $$ f(x)=left< array<|x|, |x| le e\0, ext<иначе>>
ight. $$

Читайте также:  Сортировочный центр шарапово где находится на карте

Задача 5. Разложить функцию $y=f(x)$ в ряд Фурье на промежутке $[-pi;pi]$. Простроить график сумм ряда Фурье. $$ y=left < array
ight. $$

Типовой расчет Функцию $f(x)=1-x/4$ разложить в ряд Фурье четным образом на промежутке $[-4;4]$.
Алгоритм
1. Определить ортогональную на заданном промежутке систему тригонометрических функций, указать общий период этих тригонометрических функций и вычислить квадраты норм этих функций.
2. Записать общий вид соответствующего тригонометрического ряда Фурье и формулы для вычисления коэффициентов Фурье (в общем виде).
3. Изобразить график суммы ряда Фурье на промежутке $[-16;16]$.
4. Вычислить первые 2 не нулевые коэффициента ряда Фурье, записать соответствующие тригонометрические многочлены и вычислить для них среднее квадратическое отклонение (СКО).
5. Используя теорему Дирихле:
а) найти сумму ряда Фурье в точке $x=140/3$
б) найти сумму одного из числовых рядов записав сумму ряда Фурье в точке $x_0=0$ или $x_0=4$

Периодические функции.

Мы уже знакомы с периодическими функциями. Под периодом (T) функции (f(x)) будем понимать наименьший из ее периодов. Так, функции (sin x) и (cos x) имеют период (2pi), а функция (operatorname x) имеет период (pi).

Если функция (f(x)) имеет период (2l), то будем называть ее (2l)–периодической. Функцию, определенную на ([-l, l)), можно периодически продолжить на ((-infty, +infty)), сдвигая последовательно график функции на промежутке ([-l, l)) параллельно оси (x) на (2nl), где (n = 0, pm 1,ldots). Если существуют односторонние пределы (f(-l + 0)) и (f(l-0)), то, в силу периодичности выполняются равенства
$$
f(l + 0) = lim_ f(x) = lim_ f(l + u) = lim_ f(-l + u) = lim_ f(x) = f(-l + 0).
onumber
$$

Если (f(-l + 0)
eq f(l-0)), то продолженная функция в точках (l(2n + 1)), (n in mathbb), будет иметь разрывы первого рода со скачком (f(-l + 0)-f(l-0)) даже в том случае, когда функция (f(x)) была непрерывной на промежутке ([-l, l)) (см. рис. 63.1). Функция (f(x)), непрерывная на промежутке ([-l, l)), будучи периодически продолженной на ((-infty, +infty)), останется непрерывной в том и только том случае, когда (f(-l + 0) = f(l-0)).

Рис. 63.1

Если функция (f(x)) абсолютно интегрируема на отрезке ([-l, l]) и (2l)-периодическая, то для любого вещественного числа (a) выполнено равенство
$$
intlimits_^ f(x) dx = intlimits_<- l>^ f(x) dx.
onumber
$$

(circ) Это утверждение было уже доказано нами ранее. (ullet)

Частичные суммы ряда Фурье абсолютно интегрируемой функции.

В дальнейшем считаем, что полупериод (l = pi). Такое предположение не ограничивает общности, поскольку от периода (2l) к периоду (2pi) можно перейти при помощи простой замены независимой переменной.

Читайте также:  Копирование значений ячеек в excel

Запишем для (2pi)-периодической абсолютно интегрируемой функции ее тригонометрический ряд Фурье и построим последовательность частичных сумм этого ряда
$$
S_(x) = frac<1> <2>+ sum_^ a_ cos kx + b_ sin kx.label
$$
Заметим, что функция (S_
(x)) бесконечно дифференцируема и (2pi)-периодична.

Найдем формулу для (S_(x)) (формулу Дирихле). При (u
eq 2kpi), (k in mathbb), справедливо тождество
$$
D_
(u) = frac<1> <2>+ cos u + ldots + cos nu = dfrac<displaystylesin left(n + frac<1><2>
ight)u><2displaystylesin frac<2>>.label
$$
(circ) Достаточно заметить, что
$$
2D_
(u) sin frac <2>= sin frac <2>+ 2 cos u sin frac <2>+ ldots + 2 cos nu sin frac <2>=\= sin frac <2>+ sin frac<3u><2>-sin frac <2>+ ldots + sin (n + frac<1><2>)u-\-sin (n-frac<1><2>)u = sin (n + frac<1><2>)u. ullet
onumber
$$

Функция (D_(u)), определяемая формулой eqref, называется ядром Дирихле.

Ядро Дирихле — бесконечно дифференцируемая, четная и (2pi)-периодическая функция, причем
$$
frac<1> <pi>intlimits_<-pi>^ <pi>D_(u) du = 1.label
$$

(circ) Четность, (2pi)-периодичность и бесконечная дифференцируемость ядра Дирихле следуют из формулы eqref, так как теми же свойствами обладает функция (cos ku). Формула eqref также следует из формулы eqref, поскольку
$$
frac<1> <pi>intlimits_<-pi>^ <pi>D_(u) du = frac<1> <pi>intlimits_<-pi>^ <pi>(frac<1> <2>+ cos u + ldots + cos nu) du =\= 1 + frac<1> <pi>sum_^ intlimits_<-pi>^ <pi>cos ku du = 1. ullet
onumber
$$

Выведем теперь формулу Дирихле для частичных сумм ряда Фурье. Подставляя в формулу eqref для частичной суммы выражения для коэффициентов Фурье и используя формулу eqref для ядра Дирихле, получаем
$$
S_(x) = frac<1> <2pi>intlimits_<-pi>^ <pi>f(t) dt + \ + sum_^ (cos ku cdot frac<1> <pi>intlimits_<-pi>^ <pi>f(t) cos kt dt + sin kt cdot frac<1> <pi>intlimits_<-pi>^ <pi>f(t) sin kt dt) = \ = frac<1> <pi>intlimits_<-pi>^ <pi>f(t) (frac<1> <2>+ sum_^ cos kx cos kt + sin kx sin kt) dt = \ = frac<1> <pi>intlimits_<-pi>^ <pi>f(t) (frac<1> <2>+ sum_^ cos k(x-t)) dt = \ = frac<1> <pi>intlimits_<-pi>^ <pi>f(t) D_(x-t) dt = frac<1> <pi>intlimits_^ f(x-u) D_(u) du.
onumber
$$

Так как подынтегральная функция (2pi)-периодическая, а интеграл по отрезку длины (2pi) в силу леммы 1 не зависит от того, в каком месте вещественной оси этот отрезок расположен, то
$$
S_(x) = frac<1> <pi>intlimits_<-pi>^ <pi>f(x-u) D_(u) du.label
$$

Выражение eqref для частичной суммы ряда Фурье называют формулой Дирихле. Если разбить отрезок интегрирования на два симметричных отрезка, сделать во втором интеграле замену переменной (u = -v) и воспользоваться четностью ядра Дирихле, то эту формулу можно еще преобразовать к виду
$$
S_(x) = frac<1> <pi>intlimits_<0>^ <pi>(f(x + u) + f(x-u)) D_(u) du.label
$$

Ссылка на основную публикацию
Как найти слово в переписке вк
Как найти сообщение В Контакте через компьютер Порой нам надо найти сообщение, но листать всю переписку процесс утомительный и небыстрый....
Как можно найти айпад
Если вы потеряли iPhone, iPad или iPod touch либо предполагаете, что его могли украсть, выполните следующие действия, чтобы найти устройство...
Как можно получить доступ в интернет
Время от времени меня спрашивают о том, какие способы подключения интернета существуют и какой вид доступа к глобальной сети лучше...
Как найти сопротивление в последовательной цепи
Сопротивление проводников. Параллельное и последовательное соединение проводников. Электри́ческое сопротивле́ние — физическая величина, характеризующая свойства проводника препятствовать прохождению электрического тока и...
Adblock detector