Является ли случайный процесс слабостационарным

Является ли случайный процесс слабостационарным

Вероятностные и корреляционные характеристики случайных процессов определяются с помощью одного или нескольких моментов времени (сечений). Однако существует класс случайных процессов, у которых зависимость характеристик от времени отсутствует, и при определенных условиях ряд вероятностных характеристик может быть определен путем усреднения по всему ансамблю реализаций. В других случаях для данных целей может быть осуществлено усреднение по времени с использованием одной к- реализации xk(t) случайного процесса Х(1). Наличие и отсутствие зависимости вероятностных характеристик от времени или от номера реализации определяет такие фундаментальные свойства процесса, как стационарность и эргодичность.

Особое место среди случайных процессов занимает стационарный случайный процесс, с которым часто приходится сталкиваться в теории связи.

Стационарными называют случайные процессы, статистические характеристики которых не изменяются во времени. Примерами стационарных случайных процессов являются внутренние шумы приемников, тепловой шум транзистора, стабилитрона и других полупроводниковых и электронных приборов. В практических приложениях теории случайных процессов условие стационарности обычно ограничивается требованием независимости от времени только одномерной и двумерной плотностей вероятности. Выполнение этого условия позволяет считать, что среднее значение, средний квадрат и дисперсия случайного процесса нс зависят от времени, а корреляционная функция зависит только от интервала между ними т = t2-tv т.е. от одного аргумента. Случайные процессы, удовлетворяющие условиям стационарности на ограниченных интервалах, также относят к их числу и называют квазистационарными.

С учетом предложенных ограничений при записи статистических параметров стационарного случайного процесса можно опускать обозначения фиксированных моментов времени. В этом случае математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, т.е. формулы (3.5) и (3.6) примут вид

Нетрудно показать, что функция корреляции случайного стационарного процесса зависит только от разности т = t2 — tv и поэтому Rx(tv t2) = Rv(т).

Из определения стационарности случайного процесса следует, что его функция корреляции является четной относительно т = 0: Rv(т) = Rx(-т).

Стационарность — не единственное полезное свойство случайных процессов, позволяющее подробно их исследовать. Еще одним свойством такого рода является эргодичность (ergodicity; от греч. ergon — работа). Условие эргодичности включает в себя и условие стационарности случайного процесса. Эргодичность проявляется в том, что со временем процесс становится однородным.

Стационарный случайный процесс является эргодическим, если усреднение по ансамблю реализаций можно заменить усреднением по времени одной реализации в пределах бесконечного интервала времени Тх. Приведем пример: если у вас есть кубик с числами на гранях от 1 до 6, то при 600 выбрасываниях число 1 выпадет около 100 раз. Можно взять 600 одинаковых кубиков и бросить их все одновременно один раз. При этом около 100 кубиков также покажут грань с числом 1.

Математическое ожидание эргодического процесса вычисляется усреднением по бесконечному интервалу времени значений заданной реализации. Обозначая усреднение по времени угловыми скобками, запишем

Следует помнить, что математическое ожидание эргодического случайного процесса равно постоянной составляющей любой его реализации.

является средней мощностью всего случайного эргодического процесса. Дисперсия

Читайте также:  Не входит в контакт с телефона

определяет мощность флуктуационной составляющей эргодического процесса.

Как правило, при экспериментальном исследовании случайных процессов наблюдают одну реализацию. Если процесс эргодический, то его реализация па большом интервале является типичным представителем всего ансамбля.

На рис. 3.12 приведен пример реального случайного процесса Х(!) в виде одной из реализаций флуктуационной составляющей x(t) там же показано СКО ±а от математического ожидания тх (для упрощения графика выбрано тк = 0).

Рис. 3.12. Флуктуационная составляющая x(t) с СКО ±ст

В электрических цепях широко используют переходные (разделительные) ЯС-цепи, не пропускающие постоянной составляющей. Поэтому для реальных стационарных эргодических процессов математическое ожидание тг = 0.

Функция корреляции в этом случае имеет более простой вид

Выражение (3.18) внешне совпадает с определением (2.56) автокорреляционной функции детерминированного периодического сигнала. Непосредственно из формулы (3.18) вытекает четность функции Rt(т) относительно сдвига ср.

Важно заметить, что достаточным условием эргодичности случайного процесса, стационарного в широком смысле, является стремление к нулю его корреляционной функции с ростом временного сдвига т: lim R( т) = 0.

Согласно приведенным формулам по одной реализации можно определить математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию эргодического случайного процесса. Обычно интегрирование выполняется не в бесконечных пределах, а на конечном интервале, длина которого должна быть тем больше, чем выше требования к точности результатов исследования.

Изучение стационарного случайного процесса будем проводить с учетом его эргодичности, признак которого — равенство среднего значения по множеству реализаций (3.14) среднему значению по времени одной реализации (3.17):

В общем случае результаты усреднения случайных процессов по совокупности и по времени неодинаковы. Предел выборочного среднего по совокупности представляет собой вероятностную характеристику, выражающую зависимость вероятностных свойств процесса от времени. Предел выборочного среднего по времени представляет собой вероятностную характеристику, выражающую зависимость вероятностных свойств процесса от номера реализации.

Случайный процесс U(t) состоит из гармонических реализаций и(1) = = Umcos((ot + ф), где амплитуда Um и частота со — постоянные параметры, а начальная фаза реализации ф — случайная величина, которая с одинаковой вероятностыо принимает значение в интервале (-я, я) (рис. 3.13). Найдем числовые характеристики процесса и определим, является ли он стационарным.

Заданное распределение начальных фаз означает, что плотность вероятности случайной фазы любого колебания р(ф) = 1/(2я). Тогда согласно формуле (3.14) математическое ожидание для амплитуд гармонических напряжений

По формуле (3.16) находим дисперсию

Рис. 3.13- Ансамбль гармонических колебаний со случайной фазой

Тот факт, что реализации случайного процесса являются периодическими функциями, позволяет упростить вычисления, заменив усреднение по бесконечному промежутку времени усреднением но периоду Т= 2я/со. Тогда функцию корреляции получим усреднением по времени произведения двух напряжений:

В правой части этого выражения первое слагаемое в фигурных скобках является детерминированным колебанием, поскольку в нем отсутствует случайная фаза. Второе слагаемое при статистическом усреднении по фазе с помощью одномерной плотности вероятности обращается в нуль. Поэтому функция корреляции

Читайте также:  Проверить почту на майле входящие

где т = ^ — 1).

Все искомые числовые характеристики не зависят от времени, и заданный случайный процесс является стационарным.

Отметим, что любой случайный процесс, реализации которого являются гармоническими функциями, идентичными по форме и различающимися лишь равномерно распределенной в пределах заданного периода начальной фазой, будет не только стационарным, по и эргодическим.

Случайный процесс 17(f) состоит из реализаций u(t) = l/mcos(cof +

Свойство стационарности вытекает из физических соображений в случае, если основные физические факторы, определяющие процессы, не зависят или мало зависят от времени. Такое положение, очевидно, существует, если в процессе движения электропогрузчика по территории предприятия дорожные условия и его параметры приблизительно постоянны на достаточно большом участке пути (интервале стационарности), что физическими соображениями строго не доказывается. Именно поэтому реализация рассматриваемых процессов была проверена на стационарность.

Понятие стационарности рассматривается в широком смысле, при котором условиями стационарности, как указывалось, являются независимость от времени математического ожидания, дисперсии случайного процесса и зависимость автокорреляционной функции лишь от величины сдвига по времени, т. е.

Для проверки стационарности должна быть выполнена следующая последовательность действий [28].

  • 1. Реализация разделяется на N равных интервалов, причем наблюдения в различных интервалах полагаются независимыми.
  • 2. Вычисляются средние значения и дисперсии для каждого интервала и эти оценки располагаются в порядке возрастания номера интервала, т. е.

При этом полагается маловероятным, чтобы случайный процесс обладал автокорреляционный функцией, зависящей от времени t при всех значениях т, кроме т = 0.

3. Последовательности (2.1) проверяются на наличие тренда или других изменений во времени, которые не могут быть объяснены только выборочной изменчивостью оценок. Использование с этой целью статистических критериев, требующих знаний выборочных распределений оценок, затруднительно, так как на данном этапе исследований такие сведения отсутствуют. Поэтому целесообразней применять непараметрические критерии, при использовании которых не требуется знания выборочных распределений оценок. Одним из таких критериев является критерий серий [28].

Воспользуемся этим критерием для доказательства стационарности случайных процессов U3(t) и Mc(t).

Для соответствующих реализаций находятся медианные значения выборочного среднего и выборочного среднего значения квадрата случайного процесса. Если обозначить значения соответствующей оценки, большей своей медианы, знаком «+», а меньшей — знаком «-», то получим последовательность наблюдений, имеющих знак «плюс» или «минус». Серией называется последовательность одинаковых наблюдаемых значений, перед которыми или после которых находятся значения другой категории или наблюдения отсутствуют.

Затем принимается гипотеза о стационарности процесса. Данная гипотеза может быть проверена при любом требуемом уровне значимости а путем сравнения наблюдаемого числа серий с граничными значениями rn X_aj2 и гп /2, где п = N12, полученными из таблицы, приведенной, например, в [29]. Если указанное число серий не выходит за границы этого интервала, то случайный процесс можно считать стационарным.

Для проверки стационарности реализация случайного процесса Mc(t) разбивается на N = 40 интервалов. Медианное значение оценки выборочного среднего составляет 25,394, а выборочного среднего значения квадрата случайной величины 1025,624. Расчетные значения т и а 2 для каждого интервала приведены в табл. 2.2.

Читайте также:  Как сделать текст посередине таблицы в ворде

Согласно [28], гипотеза стационарности процесса Mc(t) может быть принята при уровне значимости а = 0,05, если число серий в последовательности находится на интервале [14. 27]. Как видно из табл. 2.2, число серий равно соответственно 15 и 18, следовательно, случайный процесс Mc(t) можно считать стационарным.

Реализация процесса U3(t) разбивается на 20 интервалов. Медианное значение оценки математического ожидания равно 5,434, а дисперсии 3,989. Результаты расчета т и о 2 сведены в табл. 2.3. Гипотеза стационарности случайного процесса U3(t) может быть принята при а = 0,05, если число серий находится в интервале [6. 15]. Как следует из табл. 2.3, число серий для тис 2 равно соответственно 7 и 8, следовательно, процесс U3(t) можно считать стационарным.

Результаты расчета стационарности случайного процесса Mc(t)

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . 1969—1978 .

Смотреть что такое "Стационарный случайный процесс" в других словарях:

СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС — случайный процесс , определённый для всех моментов времени ,стохастич. характеристики к рого не зависят от выбора нач. момента отсчёта(т. е. не меняются при замене Более точно это означает, что для любого набора моментов времени t1. tn… … Физическая энциклопедия

СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС — случайный процесс, вероятностные характеристики которого не меняются с течением времени … Большой Энциклопедический словарь

стационарный случайный процесс — случайный процесс, вероятностные характеристики которого не меняются с течением времени. * * * СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС, случайный процесс, вероятностные характеристики которого не меняются с течением времени … Энциклопедический словарь

СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС — случайный процесс, вероятностные характеристики к рого не меняются с течением времени … Естествознание. Энциклопедический словарь

СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС — однородный во времени случайный процесс, случайный процесс X(t), статистич. характеристики к рого не меняются с течением времени t, т. е. инвариантны относительно временных сдвигов: при любом фиксированном значении а(действительном или… … Математическая энциклопедия

Стационарный случайный процесс с ограниченным спектром — 52. Стационарный случайный процесс с ограниченным спектром Источник: ГОСТ 21878 76: Случайные процессы и динамические системы. Термины и определения оригинал документа … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Узкополосный стационарный случайный процесс — 50. Узкополосный стационарный случайный процесс Стационарный случайный процесс, спектральная плотность которого сосредоточена в узкой полосе частот около некоторой фиксированной частоты Источник: ГОСТ 21878 76: Случайные процессы и динамические… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Широкополосный стационарный случайный процесс — 51. Широкополосный стационарный случайный процесс Источник: ГОСТ 21878 76: Случайные процессы и динамические системы. Термины и определения оригинал документа … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС СО СТАЦИОНАРНЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ — случайный процесс у к poro распределение вероятностей приращений на промежутке времени , t Физическая энциклопедия

Ссылка на основную публикацию
Что является почтовым адресом
Как известно, Правилами ведения журналов учета полученных и выставленных счетов-фактур, книг покупок и книг продаж при расчетах по налогу на...
Что написать о себе в инстаграмме девушке
Вроде как и всё ясно, но в самом деле, как только доходит до дела, написать о себе в Инстаграм, у...
Что нового в айос 12 1
Apple выпустила iOS 12.1.1 − скорее всего, последнюю публичную сборку iOS 12 в этом году. Хотя это обновление по большей...
Что читает pdf формат
Существует множество инструментов, позволяющих прочесть формат PDF: от небольших утилит до онлайн сервисов и специализированных программных продуктов. Просто для прочтения,...
Adblock detector