Что значит ступенчатый вид матрицы

Что значит ступенчатый вид матрицы

В данной теме рассмотрим понятие матрицы, а также виды матриц. Так как в данной теме немало терминов, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.

  1. Определение матрицы и её элемента. Обозначения (матрица, размер матрицы, элемент матрицы, равные матрицы).
  2. Виды матриц в зависимости от их размера. Главная и побочная диагонали. След матрицы.
  3. Виды матриц в зависимости от значений их элементов. (нулевая матрица, трапециевидная матрица, ступенчатая матрица, нижняя треугольная матрица, верхняя треугольная матрица, диагональная матрица, единичная матрица).

Определение матрицы и её элемента. Обозначения.

Матрица – это таблица из $m$ строк и $n$ столбцов. Элементами матрицы могут быть объекты совершенно разнообразной природы: числа, переменные или, к примеру, иные матрицы. Например, матрица $left( egin 5 & 3 \ 0 & -87 \ 8 & 0 end
ight)$ содержит 3 строки и 2 столбца; элементами её являются целые числа. Матрица $left(egin
a & a^9+2 & 9 & sin x \ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8end
ight)$ содержит 2 строки и 4 столбца.

Разные способы записи матриц: показатьскрыть

Матрица может быть записана не только в круглых, но и в квадратных или двойных прямых скобках. Ниже указана одна и та же матрица в различных формах записи:

Произведение $m imes n$ называют размером матрицы. Например, если матрица содержит 5 строк и 3 столбца, то говорят о матрице размера $5 imes 3$. Матрица $left(egin 5 & 3\0 & -87\8 & 0end
ight)$ имеет размер $3 imes 2$.

Обычно матрицы обозначаются большими буквами латинского алфавита: $A$, $B$, $C$ и так далее. Например, $B=left( egin 5 & 3 \ 0 & -87 \ 8 & 0 end
ight)$. Нумерация строк идёт сверху вниз; столбцов – слева направо. Например, первая строка матрицы $B$ содержит элементы 5 и 3, а второй столбец содержит элементы 3, -87, 0.

Элементы матриц обычно обозначаются маленькими буквами. Например, элементы матрицы $A$ обозначаются $a_$. Двойной индекс $ij$ содержит информацию о положении элемента в матрице. Число $i$ – это номер строки, а число $j$ – номер столбца, на пересечении которых находится элемент $a_$. Например, на пересечении второй строки и пятого столбца матрицы $A=left( egin 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 end
ight)$ расположен элемент $a_<25>=59$:

Точно так же на пересечении первой строки и первого столбца имеем элемент $a_<11>=51$; на пересечении третьей строки и второго столбца – элемент $a_<32>=-15$ и так далее. Замечу, что запись $a_<32>$ читается как "а три два", но не "а тридцать два".

Для сокращённого обозначения матрицы $A$, размер которой равен $m imes n$, используется запись $A_$. Нередко используется и такая запись:

Здесь $(a_)$ указывает на обозначение элементов матрицы $A$, т.е. говорит о том, что элементы матрицы $A$ обозначаются как $a_$. В развёрнутом виде матрицу $A_=(a_)$ можно записать так:

$$ A_=left(egin a_ <11>& a_ <12>& ldots & a_ <1n>\ a_ <21>& a_ <22>& ldots & a_ <2n>\ ldots & ldots & ldots & ldots \ a_ & a_ & ldots & a_ end
ight) $$

Введём еще один термин – равные матрицы.

Запись "$i=overline<1,m>$" означает, что параметр $i$ изменяется от 1 до m. Например, запись $i=overline<1,5>$ говорит о том, что параметр $i$ принимает значения 1, 2, 3, 4, 5.

Итак, для равенства матриц требуется выполнение двух условий: совпадение размеров и равенство соответствующих элементов. Например, матрица $A=left(egin 5 & 3\0 & -87\8 & 0end
ight)$ не равна матрице $B=left(egin
8 & -9\0 & -87 end
ight)$, поскольку матрица $A$ имеет размер $3 imes 2$, а размер матрицы $B$ составляет $2 imes 2$. Также матрица $A$ не равна матрице $C=left(egin
5 & 3\98 & -87\8 & 0end
ight)$, поскольку $a_<21>
eq c_<21>$ (т.е. $0
eq 98$). А вот для матрицы $F=left(egin
5 & 3\0 & -87\8 & 0end
ight)$ можно смело записать $A=F$ поскольку и размеры, и соответствующие элементы матриц $A$ и $F$ совпадают.

Определить размер матрицы $A=left(egin -1 & -2 & 1 \ 5 & 9 & -8 \ -6 & 8 & 23 \ 11 & -12 & -5 \ 4 & 0 & -10 \ end
ight)$. Указать, чему равны элементы $a_<12>$, $a_<33>$, $a_<43>$.

Данная матрица содержит 5 строк и 3 столбца, поэтому размер её $5 imes 3$. Для этой матрицы можно использовать также обозначение $A_<5 imes 3>$.

Элемент $a_<12>$ находится на пересечении первой строки и второго столбца, поэтому $a_<12>=-2$. Элемент $a_<33>$ находится на пересечении третьей строки и третьего столбца, поэтому $a_<33>=23$. Элемент $a_<43>$ находится на пересечении четвертой строки и третьего столбца, поэтому $a_<43>=-5$.

Читайте также:  Объективы для nikon d7100 какой лучше

Виды матриц в зависимости от их размера. Главная и побочная диагонали. След матрицы.

Пусть задана некая матрица $A_$. Если $m=1$ (матрица состоит из одной строки), то заданную матрицу называют матрица-строка. Если же $n=1$ (матрица состоит из одного столбца), то такую матрицу называют матрица-столбец. Например, $left( egin -1 & -2 & 0 & -9 & 8 end
ight)$ – матрица-строка, а $left( egin
-1 \ 5 \ 6 end
ight)$ – матрица-столбец.

Если для матрицы $A_$ верно условие $m
eq n$ (т.е. количество строк не равно количеству столбцов), то часто говорят, что $A$ – прямоугольная матрица. Например, матрица $left( egin -1 & -2 & 0 & 9 \ 5 & 9 & 5 & 1 end
ight)$ имеет размер $2 imes 4$, т.е. содержит 2 строки и 4 столбца. Так как количество строк не равно количеству столбцов, то эта матрица является прямоугольной.

Если для матрицы $A_$ верно условие $m=n$ (т.е. количество строк равно количеству столбцов), то говорят, что $A$ – квадратная матрица порядка $n$. Например, $left( egin -1 & -2 \ 5 & 9 end
ight)$ – квадратная матрица второго порядка; $left( egin
-1 & -2 & 9 \ 5 & 9 & 8 \ 1 & 0 & 4 end
ight)$ – квадратная матрица третьего порядка. В общем виде квадратную матрицу $A_$ можно записать так:

$$ A_=left(egin a_ <11>& a_ <12>& ldots & a_ <1n>\ a_ <21>& a_ <22>& ldots & a_ <2n>\ ldots & ldots & ldots & ldots \ a_ & a_ & ldots & a_ end
ight) $$

Говорят, что элементы $a_<11>$, $a_<22>$, $ldots$, $a_$ находятся на главной диагонали матрицы $A_$. Эти элементы называются главными диагональными элементами (или просто диагональными элементами). Элементы $a_<1n>$, $a_<2 ; n-1>$, $ldots$, $a_$ находятся на побочной (второстепенной) диагонали; их называют побочными диагональными элементами. Например, для матрицы $C=left(egin2&-2&9&1\5&9&8& 0\1& 0 & 4 & -7 \ -4 & -9 & 5 & 6end
ight)$ имеем:

Элементы $c_<11>=2$, $c_<22>=9$, $c_<33>=4$, $c_<44>=6$ являются главными диагональными элементами; элементы $c_<14>=1$, $c_<23>=8$, $c_<32>=0$, $c_<41>=-4$ – побочные диагональные элементы.

Сумма главных диагональных элементов называется следом матрицы и обозначается $Tr A$ (или $Sp A$):

Например, для матрицы $C=left(egin 2 & -2 & 9 & 1\5 & 9 & 8 & 0\1 & 0 & 4 & -7\-4 & -9 & 5 & 6 end
ight)$ имеем:

Понятие диагональных элементов используется также и для неквадратных матриц. Например, для матрицы $B=left( egin 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \ 1 & 0 & 4 & -7 & -6 end
ight)$ главными диагональными элементами будут $b_<11>=2$, $b_<22>=-9$, $b_<33>=4$.

Виды матриц в зависимости от значений их элементов.

Если все элементы матрицы $A_$ равны нулю, то такая матрица называется нулевой и обозначается обычно буквой $O$. Например, $left( egin 0 & 0 \ 0 & 0 \ 0 & 0 end
ight)$, $left( egin
0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end
ight)$ – нулевые матрицы.

Рассмотрим некоторую ненулевую строку матрицы $A$, т.е. такую строку, в которой есть хоть один элемент, отличный от нуля. Ведущим элементом ненулевой строки назовём её первый (считая слева направо) ненулевой элемент. Для примера рассмотрим такую матрицу:

$$W=left(egin 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 & 12\ 0 & -9 & 5 & 9 end
ight)$$

Во второй строке ведущим будет четвёртый элемент, т.е. $w_<24>=12$, а в третьей строке ведущим будет второй элемент, т.е. $w_<32>=-9$.

Матрица $A_=left(a_
ight)$ называется ступенчатой, если она удовлетворяет двум условиям:

  1. Нулевые строки, если они есть, расположены ниже всех ненулевых строк.
  2. Номера ведущих элементов ненулевых строк образуют строго возрастающую последовательность, т.е. если $a_<1k_1>$, $a_<2k_2>$, . $a_$ – ведущие элементы ненулевых строк матрицы $A$, то $k_1ltltldotslt$.

Примеры ступенчатых матриц:

Для сравнения: матрица $Q=left(egin 2 & -2 & 0 & 1 & 9\0 & 0 & 0 & 7 & 9\0 & -5 & 0 & 10 & 6end
ight)$ не является ступенчатой, так как нарушено второе условие в определении ступенчатой матрицы. Ведущие элементы во второй и третьей строках $q_<24>=7$ и $q_<32>=10$ имеют номера $k_2=4$ и $k_3=2$. Для ступенчатой матрицы должно быть выполнено условие $k_2lt$, которое в данном случае нарушено. Отмечу, что если поменять местами вторую и третью строки, то получим ступенчатую матрицу: $left(egin
2 & -2 & 0 & 1 & 9\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \0 & 0 & 0 & 7 & 9end
ight)$.

Ступенчатую матрицу называют трапециевидной или трапецеидальной, если для ведущих элементов $a_<1k_1>$, $a_<2k_2>$, . $a_$ выполнены условия $k_1=1$, $k_2=2$. $k_r=r$, т.е. ведущими являются диагональные элементы. В общем виде трапециевидную матрицу можно записать так:

Читайте также:  Определите минимальную емкость баллона который следует взять

$$ A_> =left(egin a_ <11>& a_ <12>& ldots & a_ <1r>& ldots & a_<1n>\ 0 & a_ <22>& ldots & a_ <2r>& ldots & a_<2n>\ ldots & ldots & ldots & ldots & ldots & ldots\ 0 & 0 & ldots & a_ & ldots & a_\ 0 & 0 & ldots & 0 & ldots & 0\ ldots & ldots & ldots & ldots & ldots & ldots\ 0 & 0 & ldots & 0 & ldots & 0 end
ight) $$

Примеры трапециевидных матриц:

Дадим ещё несколько определений для квадратных матриц. Если все элементы квадратной матрицы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют верхней треугольной матрицей. Например, $left( egin 2 & -2 & 9 & 1 \ 0 & 9 & 8 & 0 \ 0 & 0 & 4 & -7 \ 0 & 0 & 0 & 6 end
ight)$ – верхняя треугольная матрица. Заметьте, что в определении верхней треугольной матрицы ничего не сказано про значения элементов, расположенных над главной диагональю или на главной диагонали. Они могут быть нулевыми или нет, – это несущественно. Например, $left( egin
0 & 0 & 9 \ 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 end
ight)$ – тоже верхняя треугольная матрица.

Если все элементы квадратной матрицы, расположенные над главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют нижней треугольной матрицей. Например, $left( egin 3 & 0 & 0 & 0 \ -5 & 1 & 0 & 0 \ 8 & 2 & 1 & 0 \ 5 & 4 & 0 & 6 end
ight)$ – нижняя треугольная матрица. Заметьте, что в определении нижней треугольной матрицы ничего не сказано про значения элементов, расположенных под или на главной диагонали. Они могут быть нулевыми или нет, – это неважно. Например, $left( egin
-5 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 9 end
ight)$ и $left( egin
0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 end
ight)$ – тоже нижние треугольные матрицы.

Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы этой матрицы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Пример: $left( egin 3 & 0 & 0 & 0 \ 0 & -2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 6 end
ight)$. Элементы на главной диагонали могут быть любыми (равными нулю или нет), – это несущественно.

Диагональная матрица называется единичной, если все элементы этой матрицы, расположенные на главной диагонали, равны 1. Например, $left(egin 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 end
ight)$ – единичная матрица четвёртого порядка; $left(egin
1 & 0 \ 0 & 1 end
ight)$ – единичная матрица второго порядка.

В линейной алгебре матрица считается матрицей ступенчатого вида по строкам если

· все ненулевые строки (имеющие по крайней мере один ненулевой элемент) располагаются над всеми чисто нулевыми строками;

· ведущий элемент (первый ненулевой элемент строки при отсчёте слева направо) каждой ненулевой строки располагается строго правее ведущего элемента в строке, расположенной выше данной.

Вот пример матрицы ступенчатого вида по строкам:

Матрица называется матрицей приведенного ступенчатого вида по строкам (или канонического вида по строкам) если она удовлетворяет дополнительному условию:

· каждый ведущий элемент ненулевой строки — это единица, и он является единственным ненулевым элементом в своём столбце.

Вот пример матрицы приведенного ступенчатого вида по строкам:

Отметим, что левый край матрицы приведенного ступенчатого вида по строкам не обязательно имеет вид единичной матрицы. Например, следующая матрица является матрицей приведенного ступенчатого вида

поскольку константы в третьем столбце не являются ведущими элементами своих строк.

16. Розмір та базис простору .

Построение базиса пространства, подпространства несколько упрощается, если мы располагаем некоторыми представлениями о размерности пространства, подпространства. Одним из наводящих соображений здесь может быть следующее. Подмножество векторов пространства выделяется из с помощью дополнительных условий, накладываемых на векторы. При этом, чем больше таких условий, тем меньшей, вообще говоря, будет размерность подпространства .Если , а выделено с помощью условий специального вида, то есть основания ожидать, что .

17. Матриці, дії над ними.

В матрице (1) числа называются её элементами (как и в определителе, первый индекс означает номер строки, второй – столбца, на пересечении которых стоит элемент; i = 1, 2, . m; j = 1, 2, n).

Матрица называется прямоугольной, если m не равно n

Если же m = n , то матрица называется квадратной, а число n – её порядком.

Матрицы называются равными, если у них одинаковое число строк и столбцов и все соответствующие элементы совпадают.

Матрица называется нулевой, если всё её элементы равны нулю. Нулевую матрицу будем обозначать символом 0 или 0mn

Матрицей-строкой (или строчной) называется 1n-матрица, а матрицей-столбцом (или столбцовой) – m1-матрица.

Читайте также:  Настройка роутера netgear n300 jwnr2000v2

Матрица , которая получается из матрицы A заменой в ней местами строк и столбцов, называется транспонированной относительно матрицы A.

Операция перехода к матрице , транспонированной относительно матрицы A, называется транспонированием матрицы A . Для mn-матрицы транспонированной является nm-матрица.

Главной диагональю квадратной матрицы называется воображаемая линия, соединяющая её элементы, у которых оба индекса одинаковые. Эти элементы называются диагональными.

Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной. Не обязательно все диагональные элементы диагональной матрицы отличны от нуля. Среди них могут быть и равные нулю.

Квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны одному и тому же числу, отличному от нуля, а все прочие равны нулю, называется скалярной матрицей.

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице.

Определителем квадратной матрицы A называется определитель, элементами которого являются элементы матрицы A . Он обозначается символом |A|.

Квадратная матрица называется неособенной (или невырожденной, несингулярной), если её определитель не равен нулю, и особенной (или вырожденной, сингулярной), если её определитель равен нулю.

Результатом операции умножение матрицы на число, результатом является произведение матрицы на число, результатом операции сложения (вычитания) матриц является сумма (разность) матриц.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 10013 — | 7768 — или читать все.

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством m строк и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы.

Матрица порядка m × n записывается в форме:

или (i=1,2. m; j=1,2. n).

Числа aij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами. В записи aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j— номер столбца.

Матрица строка

Матрица размером 1×n, т.е. состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Например:

Матрица столбец

Матрица размером m×1, т.е. состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Например

Нулевая матрица

Если все элементы матрицы равны нулю,то матрица называется нулевой матрицей . Например

Квадратная матрица

Матрица A порядка m×n называется квадратной матрицей, если количество строк и столбцов совпадают: m=n. Число m=n называется порядком квадратной матрицы. Например:

Главная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a 11, a 22 . ann образуют главную диагональ матрицы. Например:

В случае m×n -матриц элементы aii ( i= 1,2. min(m,n)) также образуют главную диагональ. Например:

Элементы расположенные на главной диагонали называются главными диагональными элементами или просто диагональными элементами .

Побочная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a 1n, a 2n-1 . a n1 образуют побочную диагональ матрицы. Например:

Диагональная матрица

Квадратная матрица называется диагональной, если элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю. Пример диагональной матрицы:

Единичная матрица

Квадратную матрицу n-го порядка, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается через E или E n , где n — порядок матрицы. Единичная матрица порядка 3 имеет следующий вид:

След матрицы

Сумма главных диагональных элементов матрицы A называется следом матрицы и обозначается Sp A или Tr A. Например:

Верхняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка n×n называется верхней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные под главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i>j . Например:

Нижняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка n×n называется нижней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные над главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i T ).

Cтолбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются через R(A).

Ядро или нуль пространство матрицы

Множесто всех решений уравнения Ax=0, где A- mxn-матрица, x— вектор длины n — образует нуль пространство или ядро матрицы A и обозначается через Ker(A) или N(A).

Противоположная матрица

Для любой матрицы A сущеcтвует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0. Очевидно, что в качестве матрицы -A следует взять матрицу (-1)A, элементы которой отличаются от элементов A знаком.

Кососимметричная (Кососимметрическая) матрица

Кососимметричной называется квадратная матрица, которая отличается от своей транспонированной матрицы множителем −1:

В кососимметричной матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали отличаются друг от друга множителем −1, а диагональные элементы равны нулю.

Пример кососимметрической матрицы:

Разность матриц

Разностью C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством

Для обозначения разности двух матриц используется запись:

Степень матрицы

Пусть квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:

где E-единичная матрица.

Из сочетательного свойства умножения следует:

где p,q— произвольные целые неотрицательные числа.

Симметричная (Симметрическая) матрица

Матрица, удовлетворяющая условию A=A T называется симметричной матрицей.

Для симметричных матриц имеет место равенство:

Ссылка на основную публикацию
Чем открыть cab файл на компьютере
Файл формата CAB открывается специальными программами. Чтобы открыть данный формат, скачайте одну из предложенных программ. Чем открыть файл в формате...
Форум лексус рх 350 2007
Как выбрать Lexus RX?Надёжная ли машина?Какой расход топлива?Какие бывают комплектации?Насколько нужны те или иные функции?На что смотреть при покупке? Информация...
Форум грибников витебской области
В Беларуси много грибов: белые грибы, подосиновики, лисички и др. #новостиlespr или #newslespr - добавляйте фото в инстаграм с таким...
Чем открыть fb2 на телефоне
Формат электронных публикаций FB2, наряду с EPUB и MOBI, является одним из самых популярных для книг, публикуемых в интернете. Мы...
Adblock detector