Чему равна площадь параллелограмма построенного на векторах

Чему равна площадь параллелограмма построенного на векторах

Векторным произведениемвектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от a к b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c (рис. 1).

Формулы вычисления векторного произведения векторов

Векторное произведениедвух векторов a = x; ay; az> и b = x; by; bz> в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:

Свойства векторного произведения векторов

Геометрический смысл векторного произведения.

Модуль векторного произведения двух векторов a и b равен площади параллелограмма построенного на этих векторах:

Геометрический смысл векторного произведения.

Площадь треугольника построенного на векторах a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

Векторное произведения двух не нулевых векторов a и b равно нулю тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны.

Вектор c, равный векторному произведению не нулевых векторов a и b, перпендикулярен этим векторам.

(k a) × b = a × (k b) = k (a × b)

(a + b) × c = a × c + b × c

14. Смешанное произведение векторов, его свойства. Условие компланарности вектора. Объем параллелепипеда. Объём пирамиды.

Смешанным произведением некомпланарныхвекторов,взятых в данном порядке, называетсяобъём параллелепипеда, построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базисправый, и знаком «–», если базислевый.

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей (не меняется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер): .

2. Смешанное произведение не меняетсязнаков векторного и скалярного умножения:, поэтому смешанное произведение записывают.

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене любых двух вектор-сомножителей: ,.

4. Смешанное произведение ненулевых векторов ,иравно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны:,, – компланарны.

Читайте также:  Дни рождения приложение для андроид

Доказательство. Предположим, что векторы ,и– не компланарны. Тогда можно построить параллелепипед имеющий объем, т.е., но это противоречит условию, согласно которого,. Следовательно, векторы,и– компланарны.

Обратно, пусть ,и– компланарны. Тогда вектори перпендикулярен плоскости, в которой находятся векторы,и, значит, он перпендикулярен любому вектору, лежащему в этой плоскости, напримерЭто значит, что .

Смешанное произведение векторов, заданных своими проекциями в декартовой системе координат.

Пусть векторы заданы своими разложениями по ортам в декартовой системе координат:

, и.

Найдем их смешанное произведение, используя выражения в координатах для векторного и скалярного произведений:

.

.

Приложения смешанного произведения:

1. Определение взаимной ориентации векторов в пространстве.

Если ,и– правая тройка, еслилевая.

2. Установление компланарности векторов:

(  (,, – компланарны).

3. Определение объема параллелепипеда и треугольной пирамиды (тетраэдра):

, .

Пример. Компланарны ли векторы ,и, если .

Решение. Вычислим смешанное произведение векторов:

векторы ,ине компланарны.

Пример. Доказать, что векторы ,икомпланарны.

Решение. Рассмотрим матрицу, составленную из координат векторов ,и

, т. к. определитель матрицы равен нулю, то векторы линейно зависимы, следовательно они компланарны.

Пример. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершинына грань, если

Решение. Найдем координаты векторов:

, ,.

.

Поскольку объем тетраэдра , то высота.

Вычислим площадь основания тетраэдра

.

Итак, высота .

Ссылка на основную публикацию
Чем открыть cab файл на компьютере
Файл формата CAB открывается специальными программами. Чтобы открыть данный формат, скачайте одну из предложенных программ. Чем открыть файл в формате...
Форум лексус рх 350 2007
Как выбрать Lexus RX?Надёжная ли машина?Какой расход топлива?Какие бывают комплектации?Насколько нужны те или иные функции?На что смотреть при покупке? Информация...
Форум грибников витебской области
В Беларуси много грибов: белые грибы, подосиновики, лисички и др. #новостиlespr или #newslespr - добавляйте фото в инстаграм с таким...
Чем открыть fb2 на телефоне
Формат электронных публикаций FB2, наряду с EPUB и MOBI, является одним из самых популярных для книг, публикуемых в интернете. Мы...
Adblock detector